线代知识点总结 第1篇
阶梯型方程组：对线性方程组做初等变换所得到的就是阶梯型方程组
就是对方程组的增广矩阵做初等行变换，化为阶梯型矩阵，从而得到方程组的解
对增广矩阵化为行最简型矩阵，更容易求解
有无解的判定：
增广矩阵的秩 = 系数矩阵的秩 = 未知量的个数，则方程组 Ax=b 具有唯一解
增广矩阵的秩 不等于 系数矩阵的秩，则方程组Ax=b无解，存在一行，满足系数项全为零，而常数项不为零
xxx线性方程组一定满足：r（A，b）=r（A）
解向量的概念
若xxx线性方程组有非零解，则它会有无穷多解，这些解组成一个n维向量组，若能求出这个向量组的一个极大无关组，则就能用它来表示它的全部解，这个极大无关组称为xxx线性方程组的基础解系
xxx线性方程组有非零解，则它一定有基础解系。
定理1：如果xxx线性方程组Amn * X=0 的系数矩阵A的秩 r（A）= r < n，则Amn * X=0 的基础解系中有 n-r个解向量
xxx线性方程组的基础解系求解
非xxx线性方程组的基础解系求解
非xxx线性方程组的解的结构为：非xxx线性方程组的特解 + xxx线性方程组的通解。
求线性方程组通解的一般步骤
xxx线性方程组：
非xxx线性方程组：
线代知识点总结 第2篇
线性代数的学习切入点是线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。
线性方程组
线性方程组的特点：方程是未知数的一次xxx式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。
关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：
1、方程组是否有解，即解的存在性问题；
2、方程组如何求解，有多少个；
3、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。
高斯消元法
这最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：
1、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；
2、xxx两个方程的位置；
3、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。
任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。
由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。
对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。
可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。
系数矩阵和增广矩阵
高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。
阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。
对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现d=0这一项，则方程组无解，若未出现d=0一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解；若r 在利用初等变换得到阶梯型后，还可进一步得到最简形，使用最简形，最简形的特点是主元上方的元素也全为零，这对于求解未知量的值更加方便，但代价是之前需要经过更多的初等变换。在求解过程中，选择阶梯形还是最简形，取决于个人习惯。 xxx方程组 常数项全为零的线性方程称为xxx方程组，xxx方程组必有零解。 xxx方程组的方程组个数若小于未知量个数，则方程组一定有非零解。 利用高斯消元法和解的判别定理，以及能够回答前述的基本问题：解的存在性问题和如何求解的问题，这是以线性方程组为出发点建立起来的最基本理论。 对于n个方程n个未知数的特殊情形，我们发现可以利用系数的某种组合来表示其解，这种按特定规则表示的系数组合称为一个线性方程组（或矩阵）的行列式。行列式的特点：有n！项，每项的符号由角标排列的逆序数决定，是一个数。 通过对行列式进行研究，得到了行列式具有的一些性质（如xxx两行其值反号、有两行对应成比例其值为零、可按行展开等等），这些性质都有助于我们更方便的计算行列式。 用系数行列式可以判断n个方程的n元线性方程组的解的情况，这就是xxx法则。 总而言之，可把行列式看作是为了研究方程数目与未知量数目相等的特殊情形时引出的一部分内容。 定义1：设A=（aij）nn为n阶实方阵，如果存在某个非零 r 和xxx维非零列向量 p 满足： Ap=rp，则 r 是A 一个特征值，p是A的属于特征值为r 的一个特征向量 定义2：带参数r的n阶方阵称为A的特征方阵；它的行列式称为A的特征多项式；|rE-A|=0称为A的特征方程 求解特征值与特征向量的方法： 实方阵的特征值未必是实数，特征向量也未必是实向量 上下三角矩阵的特征值就是它的全体对角元素 一个向量p不可能是属于同一个方阵A的不同特征值的特征向量 n阶方阵和它的转置具有相同的特征值 r1 r2 r3 为A的全体特征值则必有：即特征值之和等于对角线元素之和（迹），特征值之积等于行列式的值 ∑ i = 1 n λ i = ∑ i = 1 n a i i = t r ( A ) ∏ i = 1 n λ i = ∣ A ∣ \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=tr(A) \qquad \prod_{i=1}^{n}\lambda_{i}=|A| i=1∑nλi=i=1∑naii=tr(A)i=1∏nλi=∣A∣ 步骤： 求出特征值，检查特征值之和是否等于行列式对角线元素之和，即迹，特征值之积是否等于行列式的值。 属于特征值的特征向量全体是 … 定义1： A与B是n阶方阵，如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得 P-1AP=B，则称A与B相似，记作A~B 相似矩阵具有对称性，传递性，反身性 两矩阵相似的特征： 定理3：n阶方阵相似于n阶对角矩阵的充要条件：A有n个线性无关的特征向量 推论：如果n阶矩阵A有n个互不相同的特征值 r1 r2 r3 r4 … rn，则A与对角矩阵 相似，并且对角矩阵的对角线元素为 r1 r2 r3 r4 … rn。 n阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：对于A的每一个n重特征值，xxx线性方程组（rE-A）x=0 的基础解系中恰含n个向量 概念：两个矩阵的对应元素相乘再相加，得到的一个数值，是两个矩阵的内积，记作：[A，B] 定义2**：向量的内积开根号 叫做向量的长度，向量的长度用||A||表示**，例如：a=(a1,a2,a3) ， ||a||=根号下[a,a]， 定义：若[a,b]=0，则向量a，b正交 由非零向量两两正交组成的向量组称为正交向量组 施密特正交化：正交化 -> 单位化 同型矩阵才能相加减 对应行对应列的元素相加即可 定义： 设A=(aij)ms， B=(bij)s * n ,则C=(cij)mn=AB 只有当左边矩阵A的行数等于右边矩阵B的列数才能做乘法运算。 相乘后，结果矩阵的行数等于左边矩阵A的行数，列数等于右边矩阵B的列数。 矩阵cij的元素等于矩阵A的第i行与矩阵B第j列元素相乘后相加。 矩阵乘法与普通乘法运算规则不同 若矩阵满足AB=BA，则A和B是可交换的，仅当A和B可交换时，才满足交换律，结合律等数学公式 A=（aij）n*n 是n阶方阵，则行列式 |A|中的每个元素aij的代数余子式Aij所构成的矩阵称为矩阵A的伴随矩阵 A*在（i，j）上的位置元素等于 A在 （j，i）上的位置的元素的代数余子式！！！！！！！ 伴随的一般求法： A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则满足： AA *=A *A=|A|E 矩阵的初等行或者列变换统称为 矩阵的初等变换 行变换转换为标准型矩阵的一般步骤: 单位矩阵的行数等于行阶梯非零行的行数 三种初等变换： 性质： ( A , E ) − > ( E , A − 1 ) (A,E)->(E,A^{-1}) (A,E)−>(E,A−1) 初等列变换也是同理 在矩阵A，B，xxx可逆的前提下： ( A , B ) − 初等行变换 − > ( E , A − 1 B ) (A,B)-^{初等行变换}->(E,A^{-1}B) (A,B)−初等行变换−>(E,A−1B) 初等列变换也是同理 行阶梯形矩阵： 行最简型矩阵： 定义：在矩阵A中，不为零子式的最高阶数称为A的秩，r（A）=min（m，n），则A为满秩矩阵，否则为降秩矩阵 性质： 任意矩阵A与秩满足： 0<=r(A)<=min(m,n) 矩阵A可逆，则|A|不为零，则与 r（A）=n 形成充分必要条件，矩阵A为满秩矩阵 行阶梯形矩阵的秩等于它非零行的行数或者首非零元的个数 求矩阵秩的一般方法：用初等变换将矩阵转换为阶梯型矩阵 关于秩的相关结论： 矩阵的初等变换 下面三种变换称为矩阵的初等变换 矩阵等价 如果矩阵 \bm{A} 经过优有限次初等变换变成矩阵 \bm{B} ，就称矩阵 \bm{A} 与矩阵 \bm{B} 等价，记作 \bm{A} \sim \bm{B} . 矩阵等价满足： 定理 设 \bm{A} 与 \bm{B} 为 m \times n 矩阵，那么 子式 在 m \times n 矩阵 \bm{A} 中，xxx k 行 k 列，位于这些行列交叉处的 k^{2} 个元素，不改变它们在 \bm A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 \bm A 的 k 阶子式。 秩 若矩阵 \bm A 中存在一个不为零的 r 阶子式，且所有 r+1 阶子式全为零，那么数 r 称为矩阵 \bm A 的秩，记作 R(\bm A) . 规定零矩阵的秩为 0 . 矩阵的秩有以下性质： \bm n 元xxx线性方程组解的判定 n 元xxx线性方程组 \bm{Ax}=\bm{0} 解的情况如下： \bm n 元非xxx线性方程组解的判定 n 元非xxx线性方程组 \bm{Ax}=\bm{b} 解的情况如下： 矩阵方程解的判定 矩阵方程 \bm{AX}=\bm{B} 解的情况如下：线代知识点总结 第3篇
线代知识点总结 第4篇
线代知识点总结 第5篇
