数列极限总结 第1篇
如果\{x_n\}没有下界，则 a_k=-∞\ \ (\forall k≥1) ，此时我们记 \begin{align}\varliminf_{n\rightarrow \infty}{x_n}\end{align}=\mathop{\lim\inf}\limits_{n\rightarrow\infty}{x_n}=-\infty
如果 \{x_n\} 无上界，则 \beta _k=+∞\ \ (\forall k≥1) ，此时我们记 \begin{align}\varlimsup_{n\rightarrow \infty}{x_n}\end{align}=\mathop{\lim\sup}\limits_{n\rightarrow\infty}{x_n}=+\infty
上极限判定的充要条件：
设\left\{ x_{n}\right \}\subset \mathbb{R}，则a=\varlimsup_{n \to \infty} x_n的充要条件是：
简单来说，上极限是所有单调收敛子列极限的最大值.
下极限判定的充要条件：
设\left\{ x_{n}\right \}\subset \mathbb{R}，则b=\varlimsup_{n \to \infty} x_n的充要条件是：
简单来说，下极限是所有单调收敛子列极限的最小值.
\mathbf{\color{red}{在此，必须区分一下数列的上下极限、上下确界以及上下确界数列}}
下图直观地说明了三者的关系
红线（其实不是一条线，是许多红色的点，因为太密了就像一条线了，在第一次下降的地方可以看出来，而且红点与对应的蓝点横坐标相等）是上下确界数列，上下确界数列是一个数列；黑色虚线是数列的上下极限，对于某一确定数列，上下极限分别是一个确定不变的数字；当它们相等的时候假设是 x ，数列就是收敛的，极限就是 x . 当它们不相等的时候，在任意一点之后都有某一项的值达到这两条线的值. 而上下确界是数列的最值(这么说不太准确，最值和上下确界是有区别的，最值不一定能取到，上下确界在最值取不到的时候是其极限值)，在图片中就是第一次波峰值、波谷值，对于某一确定数列，上下极限也是一个确定不变的数字.
区别：数列的上下极限是从数列无穷远项这一层面定义的一个概念，与有限项无关，也就是说列举是不可能找到数列上下极限的；而上下确界是从数列整体这一层面定义的一个概念，可能在有限远处，这是能知道第几项取到，也有可能在无限远处.
联系：有界数列去掉前有限项后(具体多少项，跟特定的数列有关)，上下确界跟上下极限一致.
举例：设 x^n=(-1)^n .
因为 x^{2n}=1,\ \ x^{2n-1}=-1 ，所以对任意的正整数 k 均有 \alpha_k=-1,\ \ \beta_k=1 .
因此 \begin{align}\varliminf_{n\rightarrow \infty}{x_n}\end{align}=-1 ， \begin{align}\varlimsup_{n\rightarrow \infty}{x_n}\end{align}=1.
设 \{x_n\},\{y_n\} 是两个有界数列，那么
(1) \begin{align}\varliminf_{n\rightarrow \infty}{x_n}\leq \varlimsup_{n\rightarrow \infty}{x_n}\end{align}
(2)(保序性)如果自某项开始有 x_n≤y_n ，则 \begin{align}\varliminf_{n\rightarrow \infty}{x_n}\leq \varliminf_{n\rightarrow \infty}{y_n}\end{align} ， \begin{align}\varlimsup_{n\rightarrow \infty}{x_n}\leq \varlimsup_{n\rightarrow \infty}{y_n}\end{align}.
数列极限总结 第2篇
即证明 { x n } \left\{ x_{n} \right\} {xn} 收敛 ⇔ \Leftrightarrow ⇔证明 lim n → ∞ x n \lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}} limn→∞xn 存在
数列极限总结 第3篇
即是将无穷项数列极限 ⇒ \Rightarrow ⇒ 幂级数 ⇒ \Rightarrow ⇒ 和函数 ⇒ \Rightarrow ⇒ 代值得到结果
数列极限总结 第4篇
《数列极限》优秀说课稿
一、关于教学目的的确定：
众所周知，对数列极限这个概念的理解可为今后高等数学的学习奠定基础，但由于学生对数列极限概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难，这种理解上的困难将影响学生对后继知识的学习，因此，我从知识、能力、情感等方面确定了本次课的教学目标。
1．在知识上，使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；
2．在能力上，培养学生观察、分析、概括的能力和在探索问题中的，由静态到动态、由有限到无限的辨证观点。体验“从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊”的认识过程；
3．在情感上，通过介绍我国古代数学家xxx的成就，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。
二、关于教学过程的设计：
为了达到以上教学目的，根据北大附中教学传统把这次课连排两节。在具体教学中，根据“循序渐进原则”，我把这次课分为三个阶段：“概念探索阶段” ；“概念建立阶段” ；“概念巩固阶段”。下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明。
（一） “概念探索阶段”
这一阶段要解决的主要问题在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：
①使学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而发现数列极限的过程；
②使学生形成对数列极限的初步认识；
③使学生了解学习数列极限概念的'必要性。
2．本阶段教学安排我采取温故知新、推陈出新的教学过程，分三个步骤进行教学。
① 温故知新由于研究数列极限首先应对数列知识有一个清晰的了解，因此在具体教学中通过对教案中5个具体数列通项公式的思考让学生对数列通项公式这个概念产生回忆，指出以前研究数列都是研究的有限项的问题，现在开始研究无限项的问题。然后引导学生回忆数列是自变量为自然数的函数，通项公式就是以n为自变量的、定义域为自然数集的函数
数列极限总结 第5篇
根据定义我们可以知道，数列的敛散性与这个数列的有限多项无关，也就是说，在某个确定的数列中添加或删除有限多项都不会改变其敛散性.
所以说，数列的极限是数列的一个整体的性质，它描述的是数列的整体变化趋势. 从直观角度来说，极限就是当下标增大时，数列越来越接近某一个数.
例子： x_n=\frac{1}{n} ，根据定义，我们要找到 a 和 n_{\varepsilon} . 很明显这个数列的极限是0，所以 a=0 我们取 n_{\varepsilon}=\left[\cfrac{1}{\varepsilon}\right]+1 ，其中 [x] 为向下取整函数.
现在我们就可以套定义来检验这个数列的极限了. x_n=\frac{1}{n}为一个数列，存在 0\in\mathbb{R} ，使得对任意 \varepsilon >0 ，均存在 n_{\varepsilon}=[\frac{1}{\varepsilon}]+1\in\mathbb{Z_{>0}} ，满足 \left|x_{n}-a\right|=\cfrac{1}{\left[\cfrac{1}{\varepsilon}\right]+1}<\varepsilon,\hspace{3pt} 对\forall n\geq n_{\varepsilon}都成立. 所以x_n=\frac{1}{n}这个数列的极限就是 0 .
{\color{red}{ \ \ \mathbf{解释}：其实所有的极限用ε-δ语言(或ε-N语言)描述出来，就是一个由静态数字变成动态趋近的过程，动态的直观体现就在于_任意 ε _，这里 ε 可以看成一个规定(or限制)的范围，具体来说这个范围就是 (a−ε,a+ε) （ a 是极限），你每找一个 ε ，我都能给你找出与之对应 n，使得在此之后的项都落在上述范围中. 这里的 n 是依赖于 ε 的，取不同的 ε 是会找到不同的 n 的. 而当 ε 取遍所有正实数时，所有的nε就构成了一个关于 ε 的函数，所以这里的 nε 可以看出一个关于 ε 的函数. }}
注释： \lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=a\Longleftrightarrow 对\ \forall\varepsilon>0 ,\{a_n\} 中之多有有限多项位于a 的 \varepsilon -邻域之外.
如果 b_n\neq0(\forall n\geq 1) ，当 n\rightarrow+\infty 时，数列 \left\{\cfrac{a_n}{b_n}\right\} 也是无穷小量，则记 a_n=o(b_n) .
例子： n^a=o(e^n),(a>0) \ln n=o(n) \sin n=o(n^2) \sin n=o(n^{}) \sin n=o(2^{n}) \sin n=o(\ln x)
若\{x_n\}是一个无穷大量，并且通项（至少对充分大的n而言）保持一定的符号，则对应于符号是正或负，我们相应地称\{x_n\}为正无穷大量或负无穷大量，也相应地称\{x_n\}发散于 +∞ 或 -∞ ，分别记作 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=+\infty 和 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=-\infty .
所以以后要注意区分 \infty 是正还是负，还是不确定.
无限分为实无限和潜无限两种不同的无限观，潜无限是指把无限看成一种过程，一种永远处于生成状态之中的过程，实无限则是指把无限看成现实存在的，即承认无穷大和无穷小作为实数扩充元素，两者互为倒数. 目前主流观点(标准分析)是承认潜无限的，当然也有承认实无限的非标准分析. 数学说到底是公理体系，不同的公理可以推导出不同的公理体系，所以标准分析和非标准分析的区别只是公理不同从而推导出不同的公理体系.
所以对于 0.\dot9 是否对于 1 这一问题，其实跟“ 0 是不是自然数”是一个性质的问题. 0.\dot9 和 1 ，它们确实不一定非得相等. 如果你接受非标准分析，接受超实数，接受正无穷小作为一个固定的实数集的元素，那么你确实可以把 0.\dot9 定义成 1 减掉无穷小。但是如果你使用的是标准实数系，比如本篇文章以及国内所有本科数学教材，把 0.\dot9 定义成 \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9}{10^n} 这个级数，或者 ，，... 这个实数列的上确界. 那 0.\dot9=1 就是很显然的事情.
命题 如果\{x_n\}的极限是 a ，则 \{x_n\} 的任意子列收敛于 a
上述命题可以用于说明某些数列发散. 如果我们能说明一个数列存在发散子列，或者存在收敛于不同数值的子列，那么这个数列发散.
数列极限总结 第6篇
(一) 四则运算法则
四则运算法则在极限中最直接的应用就是分解，即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商，各自求出极限即可得到要求的极限。但是在分解的时候要注意：(1)分解的各部分各自的`极限都要存在;(2)满足相应四则运算法则，(分母不能为0)。四则运算的另外一个应用就是“抓大头”。如果极限式中有几项均是无穷大，就从无穷大中选取起主要作用的那一项，选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项，对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数，幂函数趋于无穷的速度远远小于指数函数。
(二) 洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导)
洛必达法则解决的是“零比零“或“无穷比无穷”型的未定式的形式，所以只要是这两种形式的未定式都可以考虑用洛必达法则。当然，在用洛必达的时候需要注意(1)它的三个条件都要满足，尤其要注意第二三个条件，当三个条件都满足的时候才能用洛必达法则;(2)用洛必达法则之前一定要先化简，把要求极限的式子化成“干净”的式子，否则会遇到越求导越麻烦的情况，有的甚至求不出来，所以一定要先化简。化简常用的方法就是等价无穷小替换，有时也会用到四则运算。考生一定要熟记常用的等价无穷小，以及替换原则(乘除因子可以替换，加减不要替换)。考研中，除了也常常会把变限积分和洛必达相结合进行考查，这种类型的题目，首先要考虑洛必达，但是我们也要掌握变限积分求导。
另外，考试中有时候不直接考查“零比零“或“无穷比无穷”型，会出“零乘以无穷”，“无穷减无穷”这种形式，我们用的方法就是把他们变成“零比零“或“无穷比无穷”型。
(三) 利用xxx公式求极限
利用xxx公式求极限，也是考研中常见的方法。xxx公式可以将常用的等价无穷小进行推广，如
(四) 定积分定义
考研中求n项和的极限这类题型用夹逼定理做不出来，这时候需要用定积分定义去求极限。常用的是这种形式
只要把要求的极限凑成等是左边的形式，就可以用定积分去求极限了。
数列极限总结 第7篇
数分求极限的方法总结
解决极限的方法有那些？各位都知道，求数的极限一直是我们的难点，所以为大家带来了数分求极限的方法。
数分求极限的方法总结
1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。
2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近xxx，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近xxx）。
3、xxx公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！）E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母！！！看上去复杂,处理很简单！
5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！
6、夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
7、等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）。
8、各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数。
9、求左右极限的.方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。
10、两个重要极限的应用。这两个很重要！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式（第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限）
11、还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大时候,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！x的x次方快于x！快于指数函数，快于幂数函数，快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!当x趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。
12、换元法是一种技巧,不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。
13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。
14、还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。
15、单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性！
16、直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近xxx时候，在分子上f（x加xxx个值）加减f（x）的形式,看见了要特别注意）（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候，就是暗示你一定要用导数定义！
函数是表皮,函数的性质也体现在积分微分中。例如他的奇偶性质他的周期性。还有复合函数的性质：
1、奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样（奇函数相加为0）；
2、周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致；
3、复合函数之间是自变量与应变量互换的关系；
4、还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质！（可以导的函数的单调性和他的导数正负相关）:o再就是总结一下间断点的问题（应为一般函数都是连续的所以间断点是对于间断函数而言的）间断点分为第一类和第二类剪断点。第一类是左右极限都存在的（左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点；第二类间断点是震荡间断点或者是无穷极端点（这也说明极限即使不存在也有可能是有界的）。
数列极限总结 第8篇
根据收敛定义就可以知道，对于数列an存在一个数A，无论给定一个多么小的'数e，都能找到数字N，使得n>N时，所有的|an－A|。
有极限是局部有界，收敛是整体有界。函数单调有界可能不存在极限（∞），数列单调有界必有极限。
通常收敛与有极限是同一个意思,但是有一个例外,就是如果极限时∞,我们说其发散。
收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。
数列极限总结 第9篇
这种求不出来递推式的数列极限，相对较难求，此时无法用上述类型一的两种套路方法。
此时需要根据具体表达式具体来做。大致步骤分为两步：1.列出含有 x n x_n xn的相应表达式；2.利用这个表达式求解。
数列极限总结 第10篇
\{x_n\} {\color{red}{不是}} xxx当且仅当：存在 \varepsilon_0>0 ，使得对任意k\in\mathbb{Z_{>0}}，均存在 m,n>k ，使得 |x_m-x_n|\geq \varepsilon_0 . 这等价于存在 \varepsilon_0>0以及\{x_n\}的两个子列 \{x_{m_k}\} 和 \{x_{n_k}\} ，使得对任意的 k 均有|x_{m_k}-x_{n_k}|\geq \varepsilon_0
在证明数列极限存在时，与直接通过定义证明相比，xxx收敛准则的优势在于无需预先知晓极限值
注：f 不要求是双射.
这一原理可以用于证明数列收敛，前提是要检验是否有对任意的 x,y 都有 |f(x)-f(y)|≤|x-y| .
例如：数列\{x_n\}满足 x_1=1,\ x_{n+1}=\frac{1}{x_n^2+2} ，证明数列 \{x_n\} 收敛.
证明：记 f(x)=\frac{1}{x^2+2} ，那么 f 是从 [0,1] 到 [0,1] 的映射，而且有 |f(x)-f(y)|=\left|\cfrac{1}{x^2+2}-\cfrac{1}{y^2+2}\right|=\left|\cfrac{x+y}{(x^2+2)(y^2+2)}\right|\cdot\left|x-y\right|≤\cfrac12|x-y| .
根据上面的定理便可以知道数列 \{x_n\} 收敛.
例如：数列 \{a_n\} 满足 a_1=2 ， f(x)=\cfrac{5x-1}{x+3} ，求通项.
考虑方程 x=\cfrac{5x-1}{x+3}\Leftrightarrow (x-1)^2=0 ，故 1 是数列 \{a_n\} 的不动点，在递推式两边同时减去 1 ，有a_{n+1}-1=\cfrac{5a_n-1}{a_n+3}-1=\cfrac{4(a_n-1)}{a_n+3} ，
\cfrac{1}{a_{n+1}-1}=\cfrac{a_n+3}{4(a_n-1)}=\cfrac{a_n-1+4}{4(a_n-1)}=\cfrac{1}{a_n-1}+\cfrac{1}{4}
所以数列 \left\{\cfrac{1}{a_n-1}\right\} 是首项为 1 ，公差为 \cfrac{1}{4} 的等差数列，因此 a_n=\cfrac{4}{n+3}+1=\cfrac{n+7}{n+3} .
数列极限总结 第11篇
两个数列对应差分之比等于原数列对应项之比，有点类似于洛必达法则是不是？
要注意的是上面定理中a 可以是实数、+\infty、 -∞ ，但是不能是 \infty ，例如 x_n=(-1)^nn,y_n=n ，此时有 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\cfrac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(-1)^n(2n-1)=\infty ，但 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\cfrac{x_n}{y_n}\neq \infty
最后值得一提的是，xxx茨定理的逆命题未必成立，哪怕是在预先假设 \{x_n\} 与 \{y_n\} 均单调的前提下亦是如此. 对此我们可做如下思考，以定理 的情形为例，如果记
x_n=\sum\limits_{n=1}^{n}a_k , y_n=\sum\limits_{n=1}^{n}b_k
那么定理 可等价地描述如下：如果自某项开始有 b_k>0 且 \sum\limits_{n=1}^{n}b_k 趋于 +∞ （当 n→∞ 时），那么由
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\cfrac{a_n}{b_n} =a\ \ \ ① 可推得 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\cfrac{a_1+a_2+…+a_n}{ b_1+b_2+…+b_n} =a\ \ \ ②
在这里， ① 说明对每个充分大的 n 而言 \frac{a_n}{b_n} 将会与 a 充分接近，因此可以将其看作是局部性质；相应地 ② 考虑的是求和以后作商的渐近性态，因此这是一个整体性质. 如果每个局部性质都非常好，那么我们自然可以期待整体性质也比较好，这正是xxx茨定理所表现出来的东西. 反之，良好的整体性质并不能保证每个局部性质也都非常好，因为某些并不好的局部性态有可能在求和的过程中相互抵消了，而这正是xxx茨定理的逆命题不成立的关键所在
数列极限总结 第12篇
数列极限的证明
X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限
求极限我会
|Xn+1-A|<|Xn-A|/A
以此类推，改变数列下标可得 |Xn-A|<|Xn-1-A|/A ;
|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;
|X2-A|<|X1-A|/A;
向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)
只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：
①证明{x(n)}单调增加。
x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);
设x(k+1)>x(k)，则
x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化)
=[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。
②证明{x(n)}有上界。
x(1)=1<4，
设x(k)<4，则
x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。
构造函数f(x)=x*a^x(0
令t=1/a，则：t>1、a=1/t
且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x
=lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导)
=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)
=1/(+∞)
所以，对于数列n*a^n，其极限为0
数列极限总结 第13篇
这种类型大致分为以下两种思路：一个就是逐渐增加（或减少）但是有界限，进而逐渐趋近于所求的极限；另一种就是类似于振荡的趋近于某个极限。两种类型的示意图如下所示： 那么如何快速判定你所求数列的极限是哪一种形式呢？这里即也要从函数角度来思考。
首先这种类型的题目我们是知道递推式： x n + 1 = f ( x n ) x_{n+1}=f(x_{n}) xn+1=f(xn)，故我们研究一下f(x)。
数列极限总结 第14篇
求数列通项的方法总结
求数列的通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，分享了求数列通项的方法，一起来看看吧！
一、累加法：利用an=a1+（a2-a1）+…（an-an-1）求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如an+1=an+f（n）的递推数列通项公式的基本方法（f（n）可求前n项和）.
例1.已知数列an满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列an的通项公式。
解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则
an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+ （a2-a1）+a1
=[2（n-1）+1]+[2（n-2）+1]+…+（2×2+1）+（2×1+1）+1
=2[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+（n-1）+1
=2+（n-1）+1
=（n-1）（n+1）+1
=n2
所以数列an的通项公式为an=n2。
例2：在数列{an}中，已知an+1= ，求该数列的通项公式.
备注：取倒数之后变成逐差法。
解：两边取倒数递推式化为：=+，即-=所以-=，-=，-=…-=.…，
将以上n-1个式子相加，得：-=++…+即=+++…+==1-故an==
二、累乘法：利用恒等式an=a1…（an≠0，n？叟n）求通项公式的方法称为累乘法，累乘法是求型如：an+1=g（n）an的递推数列通项公式的基本方法（数列g（n）可求前n项积）.
例3.已知数列{an}中a1=，an=an-1（n？叟2）求数列{an}的通项公式。
解：当n？叟2时，=，=，=，…=将这n-1个式子累乘，得到=，从而an=×=，当n=1时，==a1，所以an= 。
注：在运用累乘法时，还是要特别注意项数，计算时项数容易出错.
三、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an=Sn-Sn-1（n？叟2），等差数列或等比数列的通项公式。
例4.已知Sn为数列an的前n项和，且Sn=2n+1，求数列an的通项公式.
解：当n=1时，a1=S1=2+1=3，当n？叟2时，an=Sn-Sn-1=（2n+1）-（2n-1+1）=2n-1.
而n=1时，21-1=1≠a1，∴an3（n=1）2n-1（n？叟2）。
四、构造新数列（待定系数法）： ①将递推公式an+1=qan+d（q，d为常数，q≠0，d≠0）通过（an+1+x）=q（an+x）与原递推公式恒等变成an+1+=q（an+）的方法叫构造新数列.
例5.在数列an中，a1=1，当n？叟2时，有an=3an-1+2，求an的通项公式。
解：设an+m=3（an-1+m），即有an=3an-1+2m，对比an=3an-1+2，得m=1，于是得an+1=3（an-1+1），数列an+1是以a1+1=2为首项，以3为公比的等比数列，所以有an=23n-1-1。
类似题型练习：已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）求数列an的.通项公式.
注：此种类型an+1=pan+g（n）（p为常数，且p≠0，p≠1）与上式的区别，其解法如下：将等式两边同除以pn+1，则=+，令bn=，则bn+1=bn=，这样此种数列求通项的问题可以转化为逐差法的问题，当然这种数列的通项公式也常用待定系数法解决，关键要根据g（n）选择适当的形式。
如：an的首项a1=1，且an+1=4an+2n，求an
五、数学归纳法（用不完全归纳法猜想，用数学归纳法证明）
例6.设数列an满足：a1=1，an+1an-2n2（an+1-an）+1=0求数列an的通项公式.
解：由an+1an-2n2（an+1-an）+1=0得an+1=，可算得a2=3，a3=5，a4=7，猜想an=2n-1，并用数学归纳法予以证明（以下略）
六、待定系数法
例7.已知数列an满足an+1=2an+3×5n，a1=6，求数列an的通项公式。
解：设an+1+x×5n+1=2（an+x×5n） ④
将an+1=2an+3×5n代入④式，得2an+3×5n+x×5n+1=2an+2x×5n，等式两边消去2an，得35n+x5n+1=2x5n，两边除以5n，得3+5x=2x，则x=-1，代入④式得an+1-5n+1=2（an-5n） ⑤
由a1-51=6-5=1≠0及⑤式得an-5n≠0，则=2，则数列{an-5n}是以a1-51=1为首项，以2为公比的等比数列，则an-5n=2n-1，故an=2n-1+5n。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=2an+3×5n转化为an-1-5n+1=2（an-5n），从而可知数列{an-5n}是等比数列，进而求出数列{an-5n}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。
七、特征根法
形如递推公式为an+2=pan+1+qan（其中p，q均为常数）。对于由递推公式an+2=pan+1+qan，a1=α，a2=β，给出的数列an，xxx2-px-q=0，叫做数列an的特征方程。
若x1，x2是特征方程的两个根， 当x1≠x2时，数列an的通项为an=Axn-11+Bxn-12，其中A，B由a1=α，a2=β决定（即把a1，a2，x1，x2和n=1，2，代入an=Axn-11+Bxn-12，得到关于A、B的方程组）；
当x1=x2时，数列an的通项为an=（A+Bn）xn-11，其中A，B由1=α，a2=β决定（即把a1，a2，x1，x2和n=1，2，代入an=（A+Bn）xn-11，得到关于A、B的方程组）。
例8.数列an：3an+2-5an+1+2an=0（n？叟0，n∈N），a1=a，a2=b求an
解：特征方程是3x2-5x+2=0，∵x1=1，x2= ，∴an=Axn-11+Bxn-12=A+Bn-1。
又由a1=a，a2=b，xxx=A+Bb=A+B？圯A=3b-2aB=3（a-b）
故an=3b-2a+3（a-b）（）n-1
数列极限总结 第15篇
数列求通项的方法总结
按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an} 的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。为大家总结数列求通项的方法，一起来看看吧！
一、累差法
递推式为：an+1=an+f(n)(f(n)可求和)
思路：:令n=1,2,…,n-1可得
a2-a1=f(1)
a3-a2=f(2)
a4-a3=f(3)
an-an-1=f(n-1)
将这个式子累加起来可得
an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)
∵f(n)可求和
∴an=a1+f(1)+f(2)+ …+f(n-1)
当然我们还要验证当n=1时,a1是否满足上式
例1、已知数列{a}中,a1=1,an+1=an+2,求an
解： 令n=1,2,…,n-1可得
a2-a1=2
a3-a2=22
a4-a3=23
an-an-1=2n-1
将这个式子累加起来可得
an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)
∵f(n)可求和
∴an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)
当n=1时,a1适合上式
故an=2n-1
二、累商法
递推式为：an+1=f(n)an（f(n)要可求积）
思路：令n=1,2, …,n-1可得
a2/a1=f(1)
a3/a2=f(2)
a4/a3=f(3)
an/an-1=f(n-1)
将这个式子相乘可得an/a1=f(1)f(2) …f(n-1)
∵f(n)可求积
∴an=a1f(1)f(2) …f(n-1)
当然我们还要验证当n=1时，a1是否适合上式
例2、在数列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an
解： 令n=1,2, …,n-1可得
a2/a1=f(1)
a3/a2=f(2)
a4/a3=f(3)
an/an-1=f(n-1)
将这个式子相乘后可得an/a1=2/1×3/24×/3×…×n/(n-1)
即an=2n
当n=1时，an也适合上式
∴an=2n
三,构造法
1、递推关系式为an+1=pan+q (p,q为常数)
思路：设递推式可化为an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)
故可将递推式化为an+1+x=p(an+x)
构造数列{bn},bn=an+q/(p-1)
bn+1=pbn即bn+1/bn=p,{bn}为等比数列.
故可求出bn=f(n)再将bn=an+q/(p-1)代入即可得an
例3、(06重庆)数列{an}中,对于n>1(nN)有an=2an-1+3,求an
解：设递推式可化为an+x=2(an-1+x),得an=2an-1+x,解得x=3
故可将递推式化为an+3=2(an-1+3)
构造数列{bn},bn=an+3
bn=2bn-1即bn/bn-1=2,{bn}为等比数列且公比为3
bn=bn-1·3,bn=an+3
bn=4×3n-1
数列极限总结 第16篇
求高极限数的方法总结
求高数极限的方法总结
1、利用定义求极限。
2、利用xxx准则来求。
xxx准则：要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0,存在自然数N，使得当n>N时，对于
任意的.自然数m有|xn-xm|<ε.
3、利用极限的运算性质及已知的极限来求。
如：lim(x+x^)^(x+1)^
=lim(x^)(1+1/x^)^(x^)(1+1/x)^
=1.
4、利用不等式即：夹挤定理。
5、利用变量替换求极限。
例如lim (x^1/m-1)/(x^1/n-1)
可令x=y^mn
得：＝n/m.
6、利用两个重要极限来求极限。
（1）lim sinx/x=1
x->0
(2)lim (1+1/n)^n=e
n->∞
7、利用单调有界必有极限来求。
8、利用函数连续得性质求极限。
9、用洛必达法则求，这是用得最多的。
10、用xxx公式来求，这用得也很经常。
数列极限总结 第17篇
求极限方法总结
为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限， 是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面
首先对极限的总结如下：
极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致
1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， (区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种)
2解决极限的方法如下：(我能列出来的全部列出来了你还能有补充么???)
1 等价无穷小的转化， (只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在) e的X次方-1 或者 (1+x)的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记
(x趋近无穷的时候还原成无穷小)
2落笔他 法则 (大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法)
首先他的使用有严格的使用前提
必须是 X趋近而不是N趋近(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件
(还有一点 数列极限的'n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷)
必须是 函数的导数要存在(假如告诉你g(x), 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死)
必须是 0比0 无穷大比无穷大
当然还要注意分母不能为0
落笔他 法则分为3中情况
1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用
2 0乘以无穷 无穷减去无穷 ( 应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了
30的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方
对于(指数幂数)方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， ( 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近xxx 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近xxx)
3xxx公式 (含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 )E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助
4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法
取大头原则 最大项除分子分母看上去复杂处理很简单
5无穷小于有界函数的处理办法
面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了
6夹逼定理(主要对付的是数列极限)
这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。
7等比等差数列公式应用(对付数列极限) (q绝对值符号要小于1)
8各项的拆分相加 (来消掉中间的大多数) (对付的还是数列极限)
可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式(对付数列极限) 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化
10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式
(地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 )(当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限)
11 还有个方法 ，非常方便的方法
就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的x的x次方 快于 x 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 (画图也能看出速率的快慢)当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了
12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中
13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的
14还有对付数列极限的一种方法，
就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。
15单调有界的性质
对付递推数列时候使用 证明单调性
16直接使用求导数的定义来求极限 ，
(一般都是x趋近xxx时候，在分子上f(x加减麽个值)加减f(x)的形式， 看见了有特别注意)
(当题目中告诉你F(0)=0时候 f(0)导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义)
