线性代数知识点总结汇总 第1篇
\bm{n} 元线性方程组 设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组
\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ \cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m} \\ \end{cases} \\
当常数项 b_{i} 不全为零时，称该方程组为n 元非xxx线性方程组，当 b_{i} 全为零时，称该方程组为n 元xxx线性方程组。
矩阵 由 m \times n 个数 a_{ij} xxx的 m 行 n 列的数表
\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{matrix} \\
称为 m \times n 矩阵，记作
\bm{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \\
特别地，当 m = n 时，该矩阵叫做n 阶方阵。
增广矩阵 对于非xxx线性方程组
\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ \cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m} \\ \end{cases} \\
它的系数矩阵、未知数矩阵和常数项矩阵分别如下：
\begin{align} &\bm{A} = (a_{ij})_{m \times n} \\ &\bm{x} = \begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ \end{pmatrix} \\ &\bm{b} = \begin{pmatrix} b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{m} \\ \end{pmatrix} \\ \end{align} \\
它的增广矩阵定义为
\bm{B} = ( \begin{array}{c|c} \bm{A} & \bm{b} \end{array} ) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_{m} \\ \end{pmatrix} \\
对角矩阵 方阵
\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \\ \end{pmatrix} \\
叫做对角矩阵，简称对角阵，记作 \mathrm{diag}(\begin{array}{ccc} \lambda_{1} & \lambda_{2} & \cdots & \lambda_{n} \end{array}) .
单位矩阵 对角矩阵 \mathrm{diag}(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \end{array}) 叫做 n 阶单位矩阵，简称单位阵，记作 \bm{E}_{n} .
矩阵加法
\begin{align} \bm{A} + \bm{B} &= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \\ \end{pmatrix} \\ \end{align} \\
矩阵加法满足：
矩阵数乘
\begin{align} c\bm{A} &= c \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} ca_{11} & ca_{12} & \cdots & ca_{1n} \\ ca_{21} & ca_{22} & \cdots & ca_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ca_{m1} & ca_{m2} & \cdots & ca_{mn} \\ \end{pmatrix} \\ \end{align} \\
矩阵数乘满足：
矩阵乘法 对于 m \times s 矩阵 \bm{A} 和 s \times n 矩阵 \bm{B} ，它们的乘法定义为 \bm{C} = \bm{A}\bm{B} = (c_{ij})_{m \times n} ，且满足
c_{ij} = \sum_{k = 1}^{s}a_{ik}b_{kj} ~~~~ (i \in \mathbb{Z} \leq m, j \in \mathbb{Z} \leq n) \\
矩阵乘法满足：
需要注意的是， \bm{A}\bm{B} \ne \bm{B}\bm{A} ~~~~ (\bm{B} \ne \bm{E}) .
矩阵转置 矩阵 \bm{A} = (a_{ij})_{m \times n} 的转置矩阵记作 \bm{A}^\mathrm{T} ，且满足
\bm{A}^\mathrm{T} = (a_{ji})_{n \times m} \\
矩阵转置满足：
方阵的行列式 由 n 阶方阵 \bm{A} 的元素所构成的行列式，称为方阵 \pmb{A} 的行列式，记作 \det\bm{A} 或 | \bm{A} |
方阵的行列式满足：
伴随矩阵 行列式 | \bm{A} | 的各个元素的代数余子式 A_{ij} 所构成的如下的矩阵
\bm{A}^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \\ \end{pmatrix} \\
称为矩阵 \bm{A} 的伴随矩阵，简称伴随阵，记作 \bm{A}^{*} .
矩阵 \bm{A} 和它的伴随矩阵 \bm{A}^{*} 满足
\bm{A}\bm{A}^{*}=\bm{A}^{*}\bm{A}=|\bm{A}|\bm{E} \\
逆矩阵 对于 n 阶矩阵 \bm{A} ，如果有一个 n 阶矩阵 \bm{B} ，使得
\bm{A}\bm{B} = \bm{B}\bm{A} = \bm{E} \\
则说矩阵 \bm{A} 是可逆的，并把矩阵 \bm{B} 称为矩阵 \bm{A} 的逆矩阵，简称逆阵，记作 \bm{A}^{-1} .
如果矩阵 \bm{A} 是可逆的，那么 \bm{A} 的逆矩阵是惟一的。
矩阵 \bm{A} 可逆的充分必要条件是 | \bm{A} | \ne 0 。若 | \bm{A} | \ne 0 ，则
\bm{A}^{-1} = \frac{1}{| \bm{A} |}\bm{A}^{*} \\
逆矩阵满足：
奇异矩阵 不可逆矩阵叫做奇异矩阵。
非奇异矩阵 可逆矩阵叫做非奇异矩阵。
Cramer法则 如果线性方程组
\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots = b_{2} \\ \cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots = b_{n} \\ \end{cases} \\
的系数矩阵 A 的行列式不等于零，即
\left\lvert A \right\rvert = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \ne 0 \\
则该方程组有惟一解
x_{i} = \frac{\left\lvert A_{i} \right\rvert}{\left\lvert A \right\rvert} \\
A_{i} = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1, i - 1} & b_{1} & a_{1, i + 1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n, i - 1} & b_{n} & a_{n, i + 1} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} \\
线性代数知识点总结汇总 第2篇
定义1：设A=（aij）nn为n阶实方阵，如果存在某个非零 r 和xxx维非零列向量 p 满足： Ap=rp，则 r 是A 一个特征值，p是A的属于特征值为r 的一个特征向量
定义2：带参数r的n阶方阵称为A的特征方阵；它的行列式称为A的特征多项式；|rE-A|=0称为A的特征方程
求解特征值与特征向量的方法：
实方阵的特征值未必是实数，特征向量也未必是实向量
上下三角矩阵的特征值就是它的全体对角元素
一个向量p不可能是属于同一个方阵A的不同特征值的特征向量
n阶方阵和它的转置具有相同的特征值
r1 r2 r3 为A的全体特征值则必有：即特征值之和等于对角线元素之和（迹），特征值之积等于行列式的值
∑ i = 1 n λ i = ∑ i = 1 n a i i = t r ( A ) ∏ i = 1 n λ i = ∣ A ∣ \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=tr(A) \qquad \prod_{i=1}^{n}\lambda_{i}=|A| i=1∑nλi=i=1∑naii=tr(A)i=1∏nλi=∣A∣
步骤：
求出特征值，检查特征值之和是否等于行列式对角线元素之和，即迹，特征值之积是否等于行列式的值。
属于特征值的特征向量全体是 …
定义1： A与B是n阶方阵，如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得 P-1AP=B，则称A与B相似，记作A~B
相似矩阵具有对称性，传递性，反身性
两矩阵相似的特征：
定理3：n阶方阵相似于n阶对角矩阵的充要条件：A有n个线性无关的特征向量
推论：如果n阶矩阵A有n个互不相同的特征值 r1 r2 r3 r4 … rn，则A与对角矩阵 相似，并且对角矩阵的对角线元素为 r1 r2 r3 r4 … rn。
n阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：对于A的每一个n重特征值，xxx线性方程组（rE-A）x=0 的基础解系中恰含n个向量
概念：两个矩阵的对应元素相乘再相加，得到的一个数值，是两个矩阵的内积，记作：[A，B]
定义2**：向量的内积开根号 叫做向量的长度，向量的长度用||A||表示**，例如：a=(a1,a2,a3) ， ||a||=根号下[a,a]，
定义：若[a,b]=0，则向量a，b正交
由非零向量两两正交组成的向量组称为正交向量组
施密特正交化：正交化 -> 单位化
线性代数知识点总结汇总 第3篇
行列式的定义：n*n个数字xxxn行n列，叫做n阶行列式。
行列式的项数：
余子式：关于一个k阶子式的余子式，是A去掉了这个k阶子式所在的行与列之后得到的（n－k）×（n－k）矩阵的行列式。
代数余子式：元素aₒₑi的代数余子式与该元素本身没什么关系，只与该元素的位置有关。
行列式按行展开
异乘变零定理
拉普拉斯定理（k阶子式）
拉普拉斯展开定理
行列式相乘：（同阶行列式）三阶行列式：
第一行
第二行
第三行
化成上下三角
按行展开
制造行和：如图所示行列式
∣ x a a a x a a a x ∣ − > ( x + 2 a ) ∣ 1 a a 1 x a 1 a x ∣ − > ( x + 2 a ) ∣ 1 0 0 1 x 0 1 0 x ∣ ( 用第一列乘 − a 加到后两列去，形成下三角求和 ) \left|\begin{matrix} x & a & a \\ a & x & a \\ a & a & x \end{matrix} \right|-> (x+2a)\left|\begin{matrix} 1 & a & a \\ 1 & x & a \\ 1 & a & x \end{matrix} \right| -> (x+2a) \left|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & x & 0 \\ 1 & 0 & x \end{matrix} \right|(用第一列乘-a加到后两列去，形成下三角求和) xaaaxaaax−>(x+2a)111axaaax−>(x+2a)1110x000x(用第一列乘−a加到后两列去，形成下三角求和)
加边法：不能改变原行列式的值
反对称行列式
对称行列式
方程的个数等于未知量的个数
n个方程，n个未知量
D !=0 ： Xi= Di/D
Di 表示的是把系数行列式中第 i 列的元素用 常数项列 替代
定理与推论：
定理1：系数行列式D不等于0，则方程组有唯一解，解为：x1=D1/D,x2=D2/D …
定理2：xxx线性方程组的系数行列式 D!=0，则xxx线性方程组只有零解
简单来说：
