线性代数总结 第1篇

阶梯型方程组：对线性方程组做初等变换所得到的就是阶梯型方程组

就是对方程组的增广矩阵做初等行变换，化为阶梯型矩阵，从而得到方程组的解

对增广矩阵化为行最简型矩阵，更容易求解

有无解的判定：

增广矩阵的秩 = 系数矩阵的秩 = 未知量的个数，则方程组 Ax=b 具有唯一解

增广矩阵的秩 不等于 系数矩阵的秩，则方程组Ax=b无解，存在一行，满足系数项全为零，而常数项不为零

xxx线性方程组一定满足：r（A，b）=r（A）

解向量的概念

若xxx线性方程组有非零解，则它会有无穷多解，这些解组成一个xxx向量组，若能求出这个向量组的一个极大无关组，则就能用它来表示它的全部解，这个极大无关组称为xxx线性方程组的基础解系

xxx线性方程组有非零解，则它一定有基础解系。

定理1：如果xxx线性方程组Amn * X=0 的系数矩阵A的秩 r（A）= r < n，则Amn * X=0 的基础解系中有 n-r个解向量

xxx线性方程组的基础解系求解

非xxx线性方程组的基础解系求解

非xxx线性方程组的解的结构为：非xxx线性方程组的特解 + xxx线性方程组的通解。

求线性方程组通解的一般步骤

xxx线性方程组：

非xxx线性方程组：

线性代数总结 第2篇

行列式的定义：n*n个数字排成n行n列，叫做n阶行列式。

行列式的项数：

余子式：关于一个k阶子式的余子式，是A去掉了这个k阶子式所在的行与列之后得到的（n－k）×（n－k）矩阵的行列式。

代数余子式：元素aₒₑi的代数余子式与该元素本身没什么关系，只与该元素的位置有关。

行列式按行展开

异乘变零定理

拉普拉斯定理（k阶子式）

拉普拉斯展开定理

行列式相乘：（同阶行列式）三阶行列式：

第一行

第二行

第三行

化成上下三角

按行展开

制造行和：如图所示行列式

∣ x a a a x a a a x ∣ − > ( x + 2 a ) ∣ 1 a a 1 x a 1 a x ∣ − > ( x + 2 a ) ∣ 1 0 0 1 x 0 1 0 x ∣ ( 用第一列乘 − a 加到后两列去，形成下三角求和 ) \left|\begin{matrix} x & a & a \\ a & x & a \\ a & a & x \end{matrix} \right|-> (x+2a)\left|\begin{matrix} 1 & a & a \\ 1 & x & a \\ 1 & a & x \end{matrix} \right| -> (x+2a) \left|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & x & 0 \\ 1 & 0 & x \end{matrix} \right|(用第一列乘-a加到后两列去，形成下三角求和) ​xaa​axa​aax​​−>(x+2a)​111​axa​aax​​−>(x+2a)​111​0x0​00x​​(用第一列乘−a加到后两列去，形成下三角求和)

加边法：不能改变原行列式的值

反对称行列式

对称行列式

方程的个数等于未知量的个数

n个方程，n个未知量

D !=0 ： Xi= Di/D

Di 表示的是把系数行列式中第 i 列的元素用 常数项列 替代

定理与推论：

定理1：系数行列式D不等于0，则方程组有唯一解，解为：x1=D1/D,x2=D2/D …

定理2：xxx线性方程组的系数行列式 D!=0，则xxx线性方程组只有零解

简单来说：

线性代数总结 第3篇

含n个变量的 二次xxx多项式称为一个n元二次型，简称二次型

若C 是可逆矩阵，x=Cy为可逆线性变换；若C是正交矩阵，则x=Cy为正交线性变换

定义： 如果A，B均为n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得 CT A C =B，则称A与B合同

定义：只含平方项的 二次型称为二次型的标准型

正交变换法化二次型为标准型的方法：

正交单位化的时候：

判别方法：f=xT A x正定的充要条件是 矩阵A的特征值都是正数

实对阵矩阵A正定的充要条件是 A的各阶顺序子式都大于0

线性代数总结 第4篇

向量的线性运算

线性方程组的向量形式： a1x1+a2x2+a3x3+ … a4x4=B，借助向量可以讨论线性方程组

定义：设 xxx向量组 a1，a2，a3 ，B

若k1，k2，k3为任意一组常数，则称 k1a1+k2a2+k3a3…+k4a4为向量组 a1+a2+a3的一个线性组合

若k1，k2，k3为任意一组常数，使得 B=k1a1+k2a2+k3a3+…knan成立，则称B可由向· 量组线性表示

向量B是否可由a1,a2,a3,an线性表示的方法：判断线性方程组k1a1+k2a2+knan是否有解

简单来说：

判断一个向量组的线性关系的方法：

定义：设向量组T： a1 , a2 , a3 … an 中有一部分向量组 a1 a2 a3 ar （r

1. a1 a2 a3 ar线性无关
2. 在向量组T中除去（1-r）任取一个向量 ai，满足 a1 a2 a3 ar，ai 线性相关，则称 a1 a2 a3 ar是向量组T的一个极大线性无关组。简称为极大无关组

根据上节的结论:

若向量组 a1 a2 am线性无关，而向量组 a1 a2 a3 B线性相关，则 B可由 a1 a2 a3 线性表示，且表达式唯一

可得：向量组T中任意向量 ai 都可由 a1 a2 a3 ar线性表示

极大无关组不一定是唯一的，只含零向量的向量组没有极大无关组

定义2：设有两个向量组1，2，向量组2中的每一个元素都可由向量组1线性表示，则称向量组2可由向量组1线性表示，否则称不可线性表示。

定理：

定义： 向量组T的极大无关组所包含向量的个数，称为向量组的的秩

定理：

行向量组与列向量组：

求向量组极大无关组的方法：先将列向量组构成矩阵A，然后对A实行初等行变换，把A化为行最简型矩阵，由行最简型矩阵列之间的关系，确定原向量组间的线性关系，从而确定极大无关组。