高中平面向量知识点总结 第1篇
一般把第二个稍微简单得式子叫做极化定理
例面积为2的\triangle ABC中，EF分别是AB，AC的中\\点，点P在直线EF上，则\vec{PC}\cdot\vec{PB}+\vec{BC}^{2}的最小值
解：如图
取BC中点为D，连接PD，则 \vec{PC}\cdot\vec{PB}=|PD|^{2}-\frac{1}{4}|BC|^{2} ,不妨设 \triangle ABC 在BC边上的高为h，易知 PD\geq\frac{h}{2} ,当且仅当 PD\bot BC 时取得等号，所以 \vec{PC}\cdot\vec{PB\geq}\frac{h^{2}}{4}-|BC|^{2} ,则 原式\geq\frac{h^{2}}{2}+|BC|^2\geq2\sqrt{\frac{h^{2}}{4}\cdot\frac{3}{4}|BC|^{2}}=\sqrt{3}（\frac{1}{2}h|BC|）=\sqrt{3}S_{\triangle ABC}=2\sqrt{3}
考虑取等条件即可
例已知P为边长为2的正\triangle ABC所在平面内的任意一点，满足\vec{PA}\cdot\vec{PB}+\vec{PB}\cdot\vec{PC}+\vec{PC}\cdot\vec{PA}=0,则\vec{PA}\cdot\vec{PB}的取值范围
解：设 \triangle ABC 的中心为O，则 |\vec{OA}|=|\vec{OB}|=|\vec{OC}|=\frac{2\sqrt{3}}{3}, \vec{OA}\cdot\vec{OB}=\vec{OB}\cdot\vec{OC}=\vec{OC}\cdot\vec{OA}=-\frac{2}{3} ,所以 \vec{PA}\cdot\vec{PB}+\vec{PB}\cdot\vec{PC}+\vec{PC}\cdot\vec{PA}
=(\vec{OA}-\vec{OP})\cdot(\vec{OB}-\vec{OP})+(\vec{OB}-\vec{OP})\cdot(\vec{OC}-\vec{OP})+(\vec{OC}-\vec{OP})\cdot(\vec{OA}-\vec{OP})
=3\vec{OA}\cdot\vec{OB}-2\vec{OP}\cdot(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})+3\vec{OP}^{2}
=-2+3\vec{OP}^2=0
所以 |\vec{OP}|=\frac{\sqrt{6}}{3} ,点P的轨迹是以O为原点，以 \frac{\sqrt{6}}{3} 为半径的圆
设AB的中点为D，则 \vec{PA}\cdot\vec{PB}=|PD|^{2}-\frac{1}{4}|AB|^{2}=PD^{2}-1
又 \frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}\le PD\le\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{3} ,所以 \frac{3-2\sqrt{2}}{3}\le PD^2\le\frac{3+2\sqrt{2}}{3}, 于是 \vec{PA}\cdot\vec{PB}\in[-\frac{2\sqrt{2}}{3},\frac{2\sqrt{2}}{3}]
例以知\vec a,\vec b,\vec c是平面向量，e是单位向量，若非零向量\vec a与\vec{e}的夹角为\\\frac{\pi}{4}，向量\vec{b}满足\vec b^{2}-5\vec b\cdot\vec{e}+4=0,则|\vec{a}-\vec{b}|的最小值是
解：由题意可知 \vec{b}\cdot(\vec{b}-5\vec e) ，又极化恒等式可得 \vec{b}\cdot(\vec{b}-5\vec e)=\frac{[(2\vec b-5\vec{e})^2-(5\vec{e})^2]}{4}=-4 ,所以 （2\vec{b}-5\vec{e}）-25=16
所以 |\vec{b}-\frac{5}{2}\vec{e}|=\frac{3}{2} ，即圆心为 \frac{5}{2}\vec{e} 的终点，半径为 \frac{3}{2} 的圆上运动，如图
即可知最小值为FB，计算可得 \frac{2\sqrt{5}-6}{4}
习题已知\triangle ABC是边长2\sqrt{3}的正三角形，PQ为\triangle ABC为外接圆O的一条\\直径，M为\triangle ABC边长的动点，则\vec {PM}\cdot\vec {MQ}的最大值是
（答案为3）
高中平面向量知识点总结 第2篇
例已知|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3,|\vec{e}|=1,且\vec{a}\cdot\vec b-(\vec a+\vec b)\cdot \vec e+3=0,则 \vec a \cdot \vec b的取值范围是
解：(\vec a+\vec b-\vec e)^2=\vec a^2+\vec b^2+\vec e^2+2\vec a\cdot\vec b-2\vec a\cdot\vec e-2\vec b\cdot \vec e\\则\vec a\cdot\vec b-\vec a\cdot\vec e-\vec b\cdot \vec e=\frac{(\vec a+\vec b-\vec e)^2-14}{2},由题意可得\\\frac{(\vec a+\vec b-\vec e)^2-14}{2}+3=0,则(\vec a+\vec b-\vec e)=8，|\vec a+\vec b-\vec e|\\=2\sqrt{2},由绝对值三角不等式可得|\vec a+\vec b|-|\vec{e}|\leq|\vec a+\vec b-\vec e|\leq|\vec a+\vec b|+|\vec{e}|\\因此2\sqrt{2}-1\leq|\vec a+\vec b|\leq2\sqrt{2}+1，从而9-4\sqrt{2}\leq13+2\vec a\cdot\vec b\leq9+4\sqrt{2}\\故\vec a\cdot\vec b\in[-2\sqrt{2}-2,2\sqrt{2-2}]
例设圆O，圆O_{1}半径都为1，且相外切，其切点为P，\\点A，B分别在圆O，圆O_{1}上，且\vec{PA}\cdot\vec{PB}的最大值为
解：平移到如图所示
因此\vec{PA}\cdot\vec {PB}=\vec{PA}\cdot\vec {B_{1}P}=(\vec{OA}-\vec{OP})(\vec{OP}-\vec{OB_{1}})\\=\vec{OA}\cdot\vec {OP}-\vec{OA}\cdot\vec {OB_1}-\vec{OP}^2+\vec{OP}\cdot\vec {OB_{1}}\\=-\vec{OA}\cdot\vec {OP}-\vec{OA}\cdot\vec {OB_1}+\vec{OP}\cdot\vec {OB_{1}}-1
三数平方(\vec{OA}+\vec{OB_{1}}-\vec{OP})^2=\vec{OA}^2+\vec{OB_{1}}^2+\vec{OP}^2+2(-\vec{OA}\cdot\vec {OP}+\vec{OA}\cdot\vec {OB_1}-\vec{OP}\cdot\vec {OB_{1}})\\于是-\vec{OA}\cdot\vec {OP}+\vec{OA}\cdot\vec {OB_1}-\vec{OP}\cdot\vec {OB_{1}}=\frac{（\vec{OA}+\vec{OB_{1}}-\vec{OP}）^2-3}{2}\\因此-\vec{OA}\cdot\vec {OP}+\vec{OA}\cdot\vec {OB_1}-\vec{PA}\cdot\vec {B_{1}P}=\frac{3-（\vec{OA}+\vec{OB_{1}}-\vec{OP}）^2}{2}-1\leq\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}\\当\vec{OA}+\vec{OB_1}-\vec{OP}=\vec 0时取得等号
习题圆O是半径为1的圆，\vec{OA}=\frac{1}{2},设B，C为圆上任意两点，则\vec{AC}\cdot\vec{BC}的取值范围是
（答案为 [-\frac{1}{8},3] ）
习题若向量\vec{a},\vec{b},\vec{c},满足|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=|\vec{c}|=2,则(\vec{c}-\vec{a})(\vec{c}-\vec{b})的取值范围是
（答案为 [-\frac{1}{2},12] ）
高中平面向量知识点总结 第3篇
教学准备
教学目标
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;
4.掌握向量垂直的条件.
教学重难点
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
教学工具
投影仪
教学过程
一、复习引入：
1.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ
五，课堂小结
(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?
(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?
六、课后作业
P107习题组2、7题
课后小结
(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?
(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?
课后习题
P107习题组2、7题
高中平面向量知识点总结 第4篇
向量的基本几何运算（画图应用）
向量的坐标运算（建系应用）
ps：箭头方向指向被减数
以上都是基础知识下面来道基础题
例1如图，已知\vec{AB}=\vec{a},\vec{AC}=\vec{b}，F为CB的中点，D为靠近A的三等分点且AF交DC为E，将\vec{EF}和\vec{CE}向量用\vec{a}和\vec{b}表示
解：下面来介绍一种塞瓦标数法，在A处任意赋值即可，为了方便计算赋值为2，类似杠杆平衡原理即给A负重为2，则B的值为1，那么D的值为3，同理C的值为1，F的值为2，再类比于杠杆平衡原理AE：EF=1:1,同理CE:ED=3:1,即得 \vec{EF}=\frac{1}{2}(\vec a+\vec b)\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\vec a+\frac{1}{4}\vec b ， \vec{CE}=(\frac{1}{3}\vec{a}-\vec{b})\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\vec{a}-\frac{3}{4}\vec{b}
此题也可用相似三角形或向量共线定理列方程（请各位大佬自行尝试，验证）
ps:此方法可以快速并且准确地算出各线段的表示，实用性非常强，但只能应用于选择或填空，可多加练习以便于熟练应用。
习题1将上述中点改为靠近B的三等分点，将上述D改为靠近A的四等分点（改成任意等分点都可以）
