数学必修四第一章知识点总结 第1篇

第一章*与函数概念

一、*有关概念

1、*的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个*，其中每一个对象叫元素。

2、*的中元素的三个特*：

1.元素的确定*;2.元素的互异*;3.元素的无序*

说明：(1)对于一个给定的*，*中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的*的元素。

(2)任何一个给定的*中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个*时，仅算一个元素。

(3)*中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个*是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)*元素的三个特*使*本身具有了确定*和整体*。

3、*的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北*洋}

1.用拉丁字母表示*：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

2.*的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

关于“属于”的概念

*的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是*A的元素，就说a属于*A记作a∈A，相反，a不属于*A记作a?A

列举法：把*中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将*中的元素的公共属*描述出来，写在大括号内表示*的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个*的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}

4、*的分类：

1.有限集含有有限个元素的*

2.无限集含有无限个元素的*

3.空集不含任何元素的*例：{x|x2=-5｝

二、*间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一*。

反之:*A不包含于*B,或*B不包含*A,记作AB或BA

2.“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

结论：对于两个*A与B，如果*A的任何一个元素都是*B的元素，同时,*B的任何一个元素都是*A的元素，我们就说*A等于*B，即：A=B

①任何一个*是它本身的子集。AíA

②真子集:如果AíB,且A1B那就说*A是*B的真子集，记作AB(或BA)

③如果AíB,BíC,那么AíC

④如果AíB同时BíA那么A=B

3.不含任何元素的*叫做空集，记为Φ

规定:空集是任何*的子集，空集是任何非空*的真子集。

三、*的运算

1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的*,叫做A,B的交集.

记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

2、并集的定义：一般地，由所有属于*A或属于*B的元素所组成的*，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.

3、交集与并集的*质：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,

A∪φ=A,A∪B=B∪A.

4、全集与补集

(1)补集：设S是一个*，A是S的一个子集(即)，由S中所有不属于A的元素组成的*，叫做S中子集A的补集(或余集)

记作：CSA即CSA={x|x?S且x?A}

CsA

(2)全集：如果*S含有我们所要研究的各个*的全部元素，这个*就可以看作一个全集。通常用xxx表示。

(3)*质：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U

四、函数的有关概念

1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于*A中的任意一个数x，在*B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从*A到*B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的*{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

注意：2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的*;3函数的定义域、值域要写成*或区间的形式.

定义域补充

能使函数式有意义的实数x的*称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次xxx的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的*.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

再注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

值域补充

数学必修四第一章知识点总结 第2篇

基本三角函数

Ⅱ ? 终边落在x轴上的角的集合：?????,??z?? 终边落在y轴上的角的集合：????????????,??z????,??z?终边落在与坐标轴上的角的集合：??

?? 22????

360度?2? 弧度

l? r

?11S?l r?? r2

221???180.弧度

180 1 弧度?度180??? 弧度?倒数关系：Sin?Csc??1 正六边形对角线上对应的三角函数之积为1

Cos?Sec??1

tan2??1?Sec2?

平方关系：Sin2??Cos??1 21?Cot2??Csc2?

乘积关系：Sin??tan?Cos? ， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积

Ⅲ 诱导公式? 终边相同的角的三角函数值相等

Sin???2k???Sin? , k?z Cos???2k???Cos? , k?z

tan???2k???tan? , k?z

?角?与角??关于x轴对称Sin??????Sin?

Cos?????Cos?

tan??????tan?

?角???与角?关于y轴对称Sin??????Sin?

Cos???????Cos?

tan???????tan? ?角???与角?关于原点对称Sin???????Sin?

tan??????tan?Cos???????Cos?

?角?

2??与角?关于y?x对称???Sin

?????Cos?Cos??2?? ??????Cos?????Sin?

Cos??????Sin??2??2?

??????tan?????cot?tan??????cot??2??2?

上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”

Ⅳ 周期问题

2?y?ACos??x??? , A?0 , ? ? 0 , T????y?ASin??x??? , A?0 , ? ? 0 , T??y?ACos??x??? , A?0 , ? ? 0 , T??

y?ASin??x??? ?b , A?0 , ? ? 0 , b ?0 , T?2?y?ASin??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?2?

2?y?ACos??x??? ?b , A?0 , ? ? 0 , b?0 , T?????T??y?Acot??x??? , A?0 , ? ? 0 ,

y?Atan??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?

y?Acot??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?

Ⅴ 三角函数的性质

y?Atan??x??? , A?0 , ? ? 0 , T??怎样由y?Sinx变化为y?ASin??x????k ? 振幅变化：y?Sinx左右伸缩变化：

y 左右平移变化 x??)

上下平移变化y?ASin(?x??)?k

Ⅵ平面向量共线定理：一般地，对于两个向量 a,a?0,b,如果有

一个实数?,使得??,?,则与与是共线向量 那么又且只有一个实数?,使得??.

Ⅶ 线段的定比分点

OP?

?当??1时 ?当??1时

Ⅷ 向量的一个定理的类似推广

向量共线定理： ?? ??

?推广

?平面向量基本定理： a??e ??e , ??其中e1,e2?1122

?不共线的向量

?推广

??1e1 ??2e2 ??3e3,

空间向量基本定理： ?? 其中e,e,e为该空间内的三个123??

?不共面的向量???

Ⅸ一般地，设向量??x1,y1?,??x2,y2?且?,如果∥那么x1y2?x2y1?0 反过来，如果x1y2?x2y1?0,则∥.

Ⅹ 一般地，对于两个非零向量a,b 有 ???，其中θ为两向量的夹角。

Cos??

x1x2?y1y2x1

特别的，??? ?

如果 ??x1,y1? , ??x2,y2? 且? , 则??x1x2?y1y2特别的 , a?b?x1x2?y1y2?0

Ⅻ 若正n边形A1A2???An的中心为O , 则OA1?OA2?????OAn?

三角形中的三角问题

A?B?C ?A?B?C?? ,A?B?C??,?-2

?A?B??C?

Sin?A?B??Sin?C? Cos?A?B???Cos?C? Sin???Cos??

?2??2?

?A?B??C?Cos???Sin??

?2??2?

?正弦定理：

abca?b?c

???2R? SinASinBSinCSinA?SinB?SinC

xxx定理：

a2?b2?c2?2bcCosA , b2?a2?c2?2acCosB c?a?b?2abCosC

b2?c2?a2a2?c2?b2CosA ?, CosB ?

2bc2ac

变形： 222

a?b?c

CosC ?2ab

?tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC

数学必修四第一章知识点总结 第3篇

重点难点讲解：

1.回归分析：

就是对具有相关关系的两个变量之间的关系形式进行测定，确定一个相关的数学表达式，以便进行估计预测的统计分析方法。根据回归分析方法得出的数学表达式称为回归方程，它可能是直线，也可能是曲线。

2.线性回归方程

设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n组观测值的n个点(xi,yi)(i=1,......,n)大致分布在一条直线的附近，则回归直线的方程为。

其中。

3.线性相关性检验

线性相关性检验是一种假设检验，它给出了一个具体检验y与x之间线性相关与否的办法。

①在课本附表3中查出与显著性水平与自由度n-2(n为观测值组数)相应的相关系数临界值。

②由公式，计算r的值。

③检验所得结果

如果|r|≤，可以认为y与x之间的线性相关关系不显著，接受统计假设。

如果|r|>，可以认为y与x之间不具有线性相关关系的假设是不成立的，即y与x之间具有线性相关关系。

典型例题讲解：

例1.从某班50名学生中随机抽取10名，测得其数学考试成绩与物理考试成绩资料如表：序号12345678910数学成绩，物理成绩试建立该10名学生的物理成绩对数学成绩的线性回归模型。

解：设数学成绩为x，物理成绩为，则可设所求线性回归模型为，

计算，代入公式得∴所求线性回归模型为=。

说明：将自变量x的值分别代入上述回归模型中，即可得到相应的因变量的估计值，由回归模型知：数学成绩每增加1分，物理成绩平均增加分。大家可以在老师的帮助下对自己班的数学、化学成绩进行分析。

例2.假设xxx设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：

若由资料可知y对x成线性相关关系。试求：

(1)线性回归方程;(2)估计使用年限为时，维修费用是多少?

分析：本题为了降低难度，告诉了y与x间成线性相关关系，目的是训练公式的使用。

解：(1)列表如下：于是b=,。∴线性回归方程为：=bx+a=。

(2)当x=10时，=×10+(万元)即估计使用10年时维修费用是万元。

说明：本题若没有告诉我们y与x间是线性相关的，应首先进行相关性检验。如果本身两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的。

例3.某省七年的国民生产总值及社会商品零售总额如下表所示：xxx国民生产总值与社会商品的零售总额之间存在线性关系，请建立回归模型。年份国民生产总值(亿元)

社会商品零售总额(亿元)合计

解：设国民生产总值为x，社会商品零售总额为y,设线性回归模型为。

依上表计算有关数据后代入的表达式得：∴所求线性回归模型为y=,表明国民生产总值每增加1亿元，社会商品零售总额将平均增加万元。

例4.xxx某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量xkg与每单位面积蔬菜每年平均产量yt之间的关系有如下数据：年份(kg)7074807885929095y(t)年份1993199419957x(kg)(t)(1)求x与y之间的相关系数，并检验是否线性相关;

(2)若线性相关，求蔬菜产量y与使用氮肥量之间的回归直线方程，并估计每单位面积施肥150kg时，每单位面积蔬菜的年平均产量。

分析：(1)使用样本相关系数计算公式来完成;(2)查表得出显著水平与自由度15-2相应的相关系数临界值比较，若r>，则线性相关，否则不线性相关。

解：(1)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：,.故蔬菜产量与施用氮肥量的相关系数：r=由于n=15，故自由度15-2=13。由相关系数检验的临界值表查出与显著水平及自由度13相关系数临界值，则r>，从而说明蔬菜产量与氮肥量之间存在着线性相关关系。

(2)设所求的回归直线方程为=bx+a，则∴回归直线方程为=。

当x=150时，y的估值=×150+(t)。

说明：求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计算量较大，需要细心谨慎计算，如果会使用含统计的科学计算器，能简单得到，这些量，也就无需有制表这一步，直接算出结果就行了。另外，利用计算机中有关应用程序也可以对这些数据进行处理。

数学必修四第一章知识点总结 第4篇

一、物质的量的单位――摩尔

1.物质的量(n)是表示含有一定数目粒子的集体的物理量.

2.摩尔(mol):把含有×1023个粒子的任何粒子集体计量为1摩尔.

3.阿伏加德罗常数：把叫作阿伏加德罗常数.

4.物质的量=物质所含微粒数目/阿伏加德罗常数n=n/na

5.摩尔质量(m)(1)定义：单位物质的量的物质所具有的质量叫摩尔质量.(2)单位：g/mol或g..mol-1(3)数值：等于该粒子的相对原子质量或相对分子质量.

6.物质的量=物质的质量/摩尔质量(n=m/m)

二、气体摩尔体积

1.气体摩尔体积(vm)(1)定义：单位物质的量的气体所占的体积叫做气体摩尔体积.(2)单位：l/mol

2.物质的量=气体的体积/气体摩尔体积n=v/vm

3.标准状况下,vm=

三、物质的量在化学实验中的应用

1.物质的量浓度.

(1)定义：以单位体积溶液里所含溶质b的物质的量来表示溶液组成的物理量,叫做溶质b的物质的浓度.(2)单位：mol/l(3)物质的量浓度=溶质的物质的量/溶液的体积cb=nb/v

2.一定物质的量浓度的配制

(1)基本原理:根据欲配制溶液的体积和溶质的物质的量浓度,用有关物质的量浓度计算的方法,求出所需溶质的质量或体积,在容器内将溶质用溶剂稀释为规定的体积,就得欲配制得溶液.

(2)主要*作

a.检验是否漏水.b.配制溶液1计算.2称量.3溶解.4转移.5洗涤.6定容.7摇匀8贮存溶液.

注意事项：a选用与欲配制溶液体积相同的容量瓶.b使用前必须检查是否漏水.c不能在容量瓶内直接溶解.d溶解完的溶液等冷却至室温时再转移.e定容时,当液面离刻度线1―2cm时改用滴管,以平视法观察加水至液面最低处与刻度相切为止.

1、各类有机物的通式、及主要化学*质

*烃h2n+2仅含c—c键与卤素等发生取代反应、热分解、不与高锰*钾、溴水、强*强碱反应

烯烃h2n含c==c键与卤素等发生加成反应、与高锰*钾发生氧化反应、聚合反应、加聚反应

炔烃h2n-2含c≡c键与卤素等发生加成反应、与高锰*钾发生氧化反应、聚合反应

苯(芳香烃)h2n-6与卤素等发生取代反应、与*气等发生加成反应

(甲苯、乙苯等苯的同系物可以与高锰*钾发生氧化反应)

卤代烃：h2n+1x

醇：h2n+1oh或h2n+2o有机化合物的*质，主要抓官能团的特*，比如，醇类中，醇羟基的*质：1.可以与金属*等反应产生*气，2.可以发生消去反应，注意，羟基邻位碳原子上必须要有*原子，3.可以被氧气催化氧化，连有羟基的碳原子上必要有*原子。4.与羧*发生酯化反应。5.可以与*卤素*发生取代反应。6.醇分子之间可以发生取代反应生成醚。

苯*：遇到fecl3溶液显紫*醛：h2no羧*：h2no2酯：h2no2

2、取代反应包括：卤代、*化、卤代烃水解、酯的水解、酯化反应等;

3、最简式相同的有机物：不论以何种比例混合，只要混和物总质量一定，完全燃烧生成的co2、h2o及耗o2的量是不变的。恒等于单一成分该质量时产生的co2、h2o和耗o2量。

4、可使溴水褪*的物质：如下，但褪*的原因各自不同：

烯、炔等不饱和烃(加成褪*)、苯*(取代褪*)、醛(发生氧化褪*)、有机溶剂[ccl4、*仿、溴苯(密度大于水)，烃、苯、苯的同系物、酯(密度小于水)]发生了萃取而褪*。较强的无机还原剂(如so2、ki、feso4等)(氧化还原反应)

5.能使高锰*钾**溶液褪*的物质有：

(1)含有碳碳双键、碳碳叁键的烃和烃的衍生物、苯的同系物

(2)含有羟基的化合物如醇和*类物质

(3)含有醛基的化合物

(4)具有还原*的无机物(如so2、feso4、ki、hcl、h2o2

金属及其化合物

一、金属活动*na>mg>al>fe.

二、金属一般比较活泼,容易与o2反应而生成氧化物,可以与*溶液反应而生成h2,特别活泼的如na等可以与h2o发生反应置换出h2,特殊金属如al可以与碱溶液反应而得到h2.

三、a12o3为两*氧化物,al(oh)3为两**氧化物,都既可以与强*反应生成盐和水,也可以与强碱反应生成盐和水.

四、na2co3和nahco3比较

碳**碳***

俗名纯碱或苏打小苏打

*态白*晶体细小白*晶体

水溶*易溶于水,溶液呈碱*使*酞变红易溶于水(但比na2co3溶解度小)溶液呈碱*(*酞变浅红)

热稳定*较稳定,受热难分解受热易分解

2nahco3na2co3+co2↑+h2o

与*反应co32—+h+hco3—

hco3—+h+co2↑+h2o

hco3—+h+co2↑+h2o

相同条件下放出co2的速度nahco3比na2co3快

与碱反应na2co3+ca(oh)2caco3↓+2naoh

反应实质：co32—与金属阳离子的复分解反应nahco3+naohna2co3+h2o

反应实质：hco3—+oh-h2o+co32—

与h2o和co2的反应na2co3+co2+h2o2nahco3

co32—+h2o+co2hco3—

不反应

与盐反应cacl2+na2co3caco3↓+2nacl

ca2++co32—caco3↓

不反应

主要用途玻璃、造纸、制皂、洗涤发酵、医*、灭火器

转化关系

五、合金：两种或两种以上的金属(或金属与非金属)熔合在一起而形成的具有金属特*的物质.

合金的特点;硬度一般比成分金属大而熔点比成分金属低,用途比纯金属要广泛.

1.高一化学必修二知识重点总结

2.高一化学必修2常考知识点总结

3.高中必修2化学知识点归纳

4.高一必修二必备化学知识点归纳

5.必修二化学所有知识点

6.高一必修一必备的化学知识点

数学必修四第一章知识点总结 第5篇

1.先看笔记后做作业。

有的同学感到，老师讲过的，自己已经听得明明白白了。但是为什么你这么做有那么多困难呢?原因是学生对教师所说的理解没有达到教师要求的水平。

因此，每天做作业之前，我们必须先看一下课本的相关内容和当天的课堂笔记。能否如此坚持，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其是当练习不匹配时，老师通常没有刚刚讲过的练习类型，因此它们不能被比较和消化。如果你不重视这个实施，在很长一段时间内，会造成很大的损失。

2.做题之后加强反思。

学生一定要明确，现在正做着的题，一定不是考试的题目。但使用现在做主题的解决问题的思路和方法。因此，我们应该反思我们所做的每一个问题，并总结我们自己的收获。

数学必修四第一章知识点总结 第6篇

数学必修四知识点合集

复数的概念：

形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。

复数的表示：

复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。

复数的几何意义：

(1)复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

复数的模：

复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=

虚数单位i：

(1)它的平方等于-1，即i2=-1;

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平xxx，即xxx2=-1的一个根，xxx2=-1的另一个根是-i。

(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。

复数模的性质：

复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：

对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。

两个复数相等的定义：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di

a=c，b=d。特殊地，a，b∈R时，a+bi=0

a=0，b=0.

复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。

复数相等特别提醒：

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小，也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。

解复数相等问题的方法步骤：

(1)把给的复数化成复数的标准形式;

(2)根据复数相等的充要条件解之。

数学学习技巧

1、做好预习：

单元预习时粗读，了解近阶段的学习内容，课时预习时细读，注重知识的形成过程，对难以理解的概念、公式和法则等要做好记录，以便带着问题听课。

2、认真听课：

听课应包括听、思、记三个方面。听，听知识形成的来龙去脉，听重点和难点，听例题的解法和要求。思，一是要善于联想、类比和归纳，二是要敢于质疑，提出问题。记，指课堂笔记——记方法，记疑点，记要求，记注意点。

3、认真解题：

课堂练习是最及时最直接的反馈，一定不能错过。不要急于完成作业，要先看看你的笔记本，回顾学习内容，加深理解，强化记忆。

4、及时纠错：

课堂练习、作业、检测，反馈后要及时查阅，分析错题的原因，必要时强化相关计算的训练。不明白的问题要及时向同学和老师请教了，不能将问题处于悬而未解的状态，养成今日事今日毕的好习惯。

数学中的合数是什么意思?

合数的概念

合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数(0除外)整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质dao数也不属于合数。最小的合数是4。其中，完全数与相亲数是以它为基础的。

什么是质数

质数又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。

根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。

质数和合数应用

1、质数与密码学：所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中(实为寻找素数的过程)，将会因为找质数的过程(分解质因数)过久，使即使取得信息也会无意义。

2、质数与变速箱：在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。

数学必修四第一章知识点总结 第7篇

1.正弦、xxx公式的逆向思维

对于形如cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)这样的形式，运用逆向思维，化解为：

cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)=cos[(α-β)+β]=cos(α)

2.正切公式的逆向思维。

比如，由tαn(α+β)=[tαn(α)+tαn(β)] / [1-tαn(α)tαn(β)]

可得：

tαn(α)+tαn(β)=tαn(α+β)[1-tαn(α)tαn(β)]

[1-tαn(α)tαn(β)]=[tαn(α)+tαn(β)]/ tαn(α+β)

tαn(α)tαn(β)tαn(α+β)=tαn(α+β)-tαn(α)-tαn(β)

3.二倍角公式的灵活转化

比如：1+sin2α=sin2(α)+cos2(α)+2sin(α)cos(α)

=[sin(α)+cos(α)]2

cos(2α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)=cos2(α)-sin2(α)=[cos(α)+sin(α)][cos(α)-sin(α)]

cos2(α)=[1+cos(2α)]/2

sin2(α)=[1-cos(2α)]/2

1+cos(α)=2cos2(α/2)

1-cos(α)=2sin2(α/2)

sin(2α)/2sin(α)=2sin(α)cos(α)/2sin(α)=cos(α)

sin(2α)/2cos(α)=2sin(α)cos(α)/2cos(α)=sin(α)

4.两角和差正弦、xxx公式的相加减、相比。

比如：

sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)……1

sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)……2

1式+2式，得到

sin(α+β)+sin(α-β)=2sin(α)cos(β)

1式-2式，得到

sin(α+β)-sin(α-β)=2cos(α)sin(β)

1式比2式，得到

sin(α+β)/sin(α-β)=[sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)]/ [sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)]

=[tαn(α)+tαn(β)] / [tαn(α)-tαn(β)]

我们来看两道例题，增加印象。

1.xxxcos(α)=1/7,cos(α-β)=13/14,且0<β<α<π/2,求β

本题中，α-β∈(0,π/2)

sin(α)=4√3/7 sin(α-β)=3√3/14

cos(β)=cos[α-(α-β)]=cos(α)cos(α-β)+sin(α)sin(α-β)

=1/2

β=π/3

2.xxx3sin2(α)+2sin2(β)=1,3sin(2α)-2sin(2β)=0,且α,β都是锐角。求α+2β

由3sin2(α)+2sin2(β)=1得到：

1-2sin2(β)=cos(2β)=3sin2(α)

由3sin(2α)-2sin(2β)=0得到：

sin(2β)=3sin(2α)/2

cos(α+2β)=cos(α)cos(2β)-sin(α)sin(2β)

=cos(α)3sin2(α)-sin(α)3sin(2α)/2

=3sin2(α)cos(α)-3cos(α)sin2(α)

加之0<α+2β<270o

α+2β=90o

数学必修四第一章知识点总结 第8篇

1、科学的预习方法

预习中发现的难点，就是听课的重点;对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减听课过程中的困难;有助于提高思维能力，预习后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平;预习后将课本的例题及老师要讲授的习题提前完成，还可以培养自己的自学能力，与老师的方法进行比较，可以发现更多的方法与技巧。总之，这样会使你的听课更加有的放矢，你会知道哪些该重点听，哪些该重点记。

2、科学的听课方式

听课的过程不是一个被动参预的过程，要全身心地投入课堂学习，耳到、眼到、心到、口到、手到。还要想在老师前面，不断思考：面对这个问题我会怎么想?当老师讲解时，又要思考：老师为什么这样想?这里用了什么思想方法?这样做的目的是什么?这个题有没有更好的方法?问题多了，思路自然就开阔了。

3、科学的记录笔记

记问题--将课堂上未听懂的问题及时记下来，便于课后请教同学或老师，把问题弄懂弄通。

记疑点--对老师在课堂上讲的内容有疑问应及时记下，这类疑点，有可能是自己理解错造成的，也有可能是老师讲课疏忽大意造成的，记下来后，便于课后与老师商榷。

记方法xxx记老师讲的解题技巧、思路及方法，这对于启迪思维，开阔视野，开发智力，培养能力，并对提高解题水平大有益处。

记总结--注意记住老师的课后总结，这对于浓缩一堂课的内容，找出重点及各部分之间的联系，掌握基本概念、公式、定理，寻找存在问题、找到规律，融会贯通课堂内容都很有作用。

数学必修四第一章知识点总结 第9篇

1.多面体的结构特征

(1)xxx有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，每相邻两个四边形的公共边平行。

正xxx：侧棱垂直于底面的xxx叫做直xxx，底面是正多边形的直xxx叫做正xxx.反之，正xxx的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形。

(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形。

正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形。

2.旋转体的结构特征

(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一xxx.

(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一xxx.

(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半xxx，也可由平行于底面的平面截圆锥得到。

(4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半xxx。

3.空间几何体的三视图

空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。

三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法。

4.空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：

(1)画几何体的底面

在xxx图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°或135°，xxx图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴.xxx图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半。

(2)画几何体的高

在xxx图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，xxx图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变。

数学必修四第一章知识点总结 第10篇

一：函数及其表示

知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、函数区间、函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数值、求函数值域、函数的表示方法等

1. 函数与映射的区别：

2. 求函数定义域

常见的用解析式表示的函数f(x)的定义域可以归纳如下：

①当f(x)为整式时，函数的定义域为R.

②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。

③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。

④当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合。

⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。

⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。

⑦对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还要受实际问题的制约。

3. 求函数值域

(1)、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域;

(2)、配方法;如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域;

(3)、判别式法：

(4)、数形结合法;通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域;

(5)、换元法;以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域;

(6)、利用函数的单调性;如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域;

(7)、利用基本不等式：对于一些特殊的分式函数、高于二次的函数可以利用重要不等式求出函数的值域;

(8)、最值法：对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域;

(9)、反函数法：如果函数在其定义域内存在反函数，那么求函数的值域可以转化为求反函数的定义域。

数学必修四第一章知识点总结 第11篇

必修四数学知识点提纲

第一章 三角函数

任意角和弧度制

任意角的三角函数——阅读与思考 三角形与天文学

三角函数的诱导公式

三角函数的图像与性质——探究与发现 函数y=Asin(ωX+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)的周期

探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、xxx函数的性质

信息技术应用 利用正切线画函数

y=tanX,X∈(—2π，2π )的图像

函数y=Asin(ωX+φ)的图像——阅读与思考 振幅、周期、频率、相位

三角函数模型的简单应用

复习参考题

第二章平面向量

平面向量的实际背景及基本概念——阅读与思考 向量及向量符号的由来

平面向量的线性运算

平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量的数量积

平面向量应用举例——阅读与思考 向量的运算(运算律)与图形性质

复习参考题

第三章 三角恒等变换

两角和与差的正弦、xxx和正切公式——信息技术应用 利用信息技术制作三角函数表

简单的三角恒等变换

复习参考题

第一章三角函数

正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。

按边旋转的方向分零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。角负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。

的第一象限角{α|k2360°<α<90°+k2360°,k∈Z}

分第二象限角{α|90°+k2360°<α<180°+k2360°,k∈Z}类第三象限角{α|180°+k2360°<α<270°+k2360°,k∈Z}第四象限角{α|270°+k2360°<α<360°+k2360°,k∈Z}或{α|-90°+k2360°<α

⑴终边在x轴上的非负半轴上的角：α=k2360°,k∈Z

⑵终边在x轴上的非正半轴上的角：α=180°+k2360°,k∈Z⑶终边在x轴上的角：α=k2180°,k∈Z

⑷终边在y轴上的角：α=90°+k2180°,k∈Z⑸终边在坐标轴上的角：α=k290°,k∈Z

⑹终边在y=x上的角：α=45°+k2180°,k∈Z

⑺终边在y=-x上的角：α=-45°+k2180°,k∈Z或α=135°+k2180°,k∈Z⑻终边在坐标轴或四象限角平分线上的角：α=k245°,k∈Z

4.弧度：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用xxxad表示。.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α相关公式7.角度制与弧度制的换算8.单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。

9.利用单位圆定义任意角的三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)那么：⑴y叫做α的正弦，记作sinα即⑵x叫做α的xxx，记作cosα⑶

y叫做α的正切，记作tanαx22

;cos

同角三角函数的基本关系α≠kπ+

11.三角函数的诱导公式：

πnis(k∈Z)】：ant2cos

公sink2sin式cosk2cos一tank2tan【注】其中kZ

公sinsin公sinsin式cos

cos

式coscos

公sinsin式coscos四tantan

公sincos

公sinsco

式cossin式cosnsi

五tancot

六tantco

注意：ysinx周期为2π;y|sinx|周期为π;y|sinxk|周期为2π;ysin|x|不是周期函数。

13.得到函数yAsin(x)图像的方法:

y=sin(x+)ysin(x)y①y=sinx

周期变换

向左或向右平移||个单位

平移变换周期变换振幅变换

Asin(x)

②y=sinxysinxysin(x)yAsin(x)14.简谐运动

①解析式：yAsin(x),x[0,+)②振幅：A就是这个简谐运动的振幅。③周期：T④频率：f=

振幅变换

T2π

⑤相位和初相：x称为相位，x=0时的相位称为初相。

第二章平面向量

1.向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量。数量：我们把只有大小没有方向的量称为数量。2.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。有向线段三要素：起点、方向、长度。

3.向量的长度(模)：向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或称模)，记作|AB|。

4.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的。

单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。

5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量a、b是两个平行向量，那么通常记作a∥b。

平行向量也叫做共线向量。我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任一向量a，都有0∥a。

6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量a、b是两个相等向量，那么通常记作a=b。

BC=b，b，7.如图，xxx非零向量a、在平面内任取一点A，作AB=a，则向量AC叫做a与b的和，记作ab，

即abABBCAC。

向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则。

8.对于零向量与任一向量a，我们规定：a+0=0+a=a

9.公式及运算定律：①A1A2+A2A3+...+AnA1=0②|a+b|≤|a|+|b|

(a+b)+ca(b+c)③a+bba④

10.相反向量：①我们规定，与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a。a和-a互为相反向

②我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。

③任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)(=-a)+a=0。

④如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，ab=0。

⑤我们定义a-b=a+，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。(-b)

11.向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘。记作a，它的

长度与方向规定如下：①|a|a|②当λ>0时，a的方向与a的方向相同;当λ<0时，的方向与a的

方向相反;λ=0时，a=0

(a)a12.运算定律：①

②()aaa

③(ab)=ab

()a(a)(a)(ab)=ab④⑤

13.定理：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=a，那么a与b共线。相反，xxx向量a与b

共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=a;当a

与b反方向时，有b=a。则得如下定理：向量向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有一个实数λ，使b=a。

14.平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且

只有一对实数1、2，使a1e12e2。我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基

15.向量a与b的夹角：xxx两个非零向量a和b。作OAa，OBb，则AOB(0°≤θ≤180°)叫

做向量a与b的夹角。当θ=0°时，a与b同向;当θ=180°时，a与b反向。如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作ab。

16.补充结论：xxx向量a、b是两个不共线的两个向量，且m、n∈R，若manb0，则m=n=0。

17.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

18.两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)。即若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则

ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)

19.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。即若a(x1,y1)，则a(x1,y1)

20.当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a、b(b≠0)共线

x1x2y1y2

21.定比分点坐标公式：当P1PPP2时，P点坐标为(,)

①当点P在线段P1P2上时，点P叫线段P1P2的内分点，λ>0②当点P在线段P1P2的延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，λ<-1;当点P在线段P1P2的反向延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，-1<λ<.从一点引出三个向量，且三个向量的终点共线，

则OCOAOB，其中λ+μ=1

23.数量积(内积)：xxx两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积(或内积)，记作a2b即a2b=|a||b|cos。其中θ是a与b的夹角，

|a|cos(|b|cos)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。我们规定，零向量与任一向量的数量

积为0。

的几何意义：数量积a2b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。

25.数量积的运算定律：①a2b=b2a②(λa)2b=λ(a2b)=a2(λb)③(a+b)2c=a2c+b2c22222222④(ab)a2abb⑤(ab)a2abb⑥(ab)(ab)ab

26.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即abx1x2y1y2。则：

①若a(x,y)，则|a|xy，或|a|。如果表示向量a的有向线段的起点和中点的坐标分别为(x2x1，y2y1)

(x1，y1)(x2，y2)、，那么a，|a|

(x1，y1)(x2，y2)②设a，b，则abx1x2y1y20ab0

(x1，y1)(x2，y2)27.设a、b都是非零向量，a，b，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表

示可得：cos

|a||b|

数学中N是指什么

数学中的N表示的是集合中的自然数集，这是数学集合中的相关概念，需要掌握的还有：N+表示的是正整数集，Z表示的是集合中的整数集，Q表示的是有理数集，R表示的是实数集。

数学加法心算技巧

1、分裂再凑整数加法;

比如;8+5=13，先把“5”分裂成“2”和“3”;那么就是8+2+3=10;

2、比如;77+8=85，先把“8”分裂成“3”和“5”;那么就是77+3+5=85;

3、变整数再减去

比如，26+18=44，把“18”变成“20-2”，那么就是26+20-2=44;

4、比如;387+983=1370，把“983”变成“1000-17”，那么就是387+1000-17=1370;

5、错位数相加

比如，个位加十位得数是个位的;

51+15=66;这样算：5+1得6;1+5得6;两6合拼

72+27=99;这样算：7+2得9;2+7得9;两9合拼

63+36=99;这样算：6+3得9;3+6得9;两9合拼

52+25=77;这样算：5+2得7;2+5得7;两7合拼

6、比如，个位加十位得数是十位的;

78+87=165;这样算：7+8=15，再把“15”两个数字“1”和“5”相加得6，把这个“6”放在“15”的中间，得出“165”;

67+76=143，这样算：6+7=13，再把“13”两个数字“1”和“3”相加得4，把这个“4”放在“13”的中间，得出“143”;