高中数列题型总结 第1篇

数列的知识点总结

数列的知识点总结

数列知识：数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

①用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

数列的一般形式可以写成

a1，a2，a3，…，an，a(n+1)，……

简记为{an}，

项数有限的数列为“有穷数列”(finite sequence)，

项数无限的数列为“无穷数列”(infinite sequence)。

数列的各项都是正数的为正项数列;

从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列xxx增数列;如：1，2，3，4，5，6，7;

从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列xxx减数列;如：8，7，6，5，4，3，2，1;

从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列;

各项呈周期性变化的数列叫做周期数列(如三角函数);

各项相等的数列叫做常数列(如：2，2，2，2，2，2，2，2，2)。

通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式(注：通项公式不唯一)。

递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

数列中项的总数为数列的项数。特别地，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an=f(n)。

如果可以用一个公式来表示，则它的通项公式是a(n)=f(n).

并非所有的数列都能写出它的通项公式。例如：π的不同近似值，根据精确的程度，可形成一个数列3，，，，…它没有通项公式。

数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。

用符号{an}表示数列，只不过是“借用”集合的符号，它们之间有本质上的区别：1.集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。2.集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的。

知识拓展：函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系

下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系

平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的'数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合

三个规定：

①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向

②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

初中数学知识点：平面直角坐标系的构成

对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

平面直角坐标系的构成

在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。

初中数学知识点：点的坐标的性质

下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。

点的坐标的性质

建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。

对于平面内任意一点C，过点C分别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X轴、Y轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C的坐标。

一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。

希望上面对点的坐标的性质知识讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会在考试中取得优异成绩的。

初中数学知识点：因式分解的一般步骤

关于数学中因式分解的一般步骤内容学习，我们做下面的知识讲解。

因式分解的一般步骤

如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，

通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

相信上面对因式分解的一般步骤知识的内容讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们会考出好成绩。

初中数学知识点：因式分解

下面是对数学中因式分解内容的知识讲解，希望同学们认真学习。

因式分解

因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。

因式分解要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式④

因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)

公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。

提取公因式步骤：

①确定公因式。②确定商式③公因式与商式写成积的形式。

分解因式注意；

①不准丢字母

②不准丢常数项注意查项数

③双重括号化成单括号

④结果按数单字母单项式多项式顺序排列

⑤相同因式写成幂的形式

⑥首项负号放括号外

⑦括号内同类项合并。

高中数列题型总结 第2篇

等比数列与等差数列的求和

一类特殊的等比数列求和

欧拉公式：e^{ix}=cosx+isinx，及棣莫弗公式（cosx+isinx）^n=cosnx+isinnx\\ 求\sum_{k=1}^{n}{coskx}和\sum_{k=1}^{n}{sinkx} \\有\sum_{k=1}^{n}{e^{ikx}}=\frac{(1-e^{inx})e^{ix}}{1-e^{ix}}=\frac{e^{ix}-e^{ix(n+1)}}{1-e^{ix}}\\=\frac{e^{\frac{ix}{2}}-e^{ix(n+\frac{1}{2})}}{e^{-\frac{ix}{2}}-e^{\frac{ix}{2}}}\\=\frac{(e^{\frac{ix}{2}}-e^{ix(n+\frac{1}{2})})\frac{1}{2i}}{(e^{-\frac{ix}{2}}-e^{\frac{ix}{2}})\frac{1}{2i}}\\=\frac{i[e^{\frac{ix}{2}}-e^{ix(n+\frac{1}{2})}]}{2sin\frac{x}{2}}\\=\frac{i[cos\frac{x}{2}+icos\frac{x}{2}-cos({nx+\frac{x}{2})-isin(nx+\frac{x}{2})}]}{2sin\frac{x}{2}}

我们知道实部求和仍是实部，虚部求和仍是虚部故有

\sum_{k=1}^{n}{coskx}=\frac{sin(nx+\frac{x}{2})-sin\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}}\\\sum_{k=1}^nsinkx=\frac{-cos(nx+\frac{x}{2})+cos\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}}

这类求和的本质居然是等比数列求和！

高中数列题型总结 第3篇

一、高考数列基本公式：

1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是xxx的一次式；当d=0时，an是一个常数。

3、等差数列的前n项和公式：

当d≠0时，Sn是xxx的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是xxx的正比例式。

4、等比数列的通项公式： an= a1qn-1an= akqn-k

(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是xxx的正比例式)；

当q≠1时，

二、高考数学中有关等差、等比数列的结论

1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。

4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等比数列。

5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；

三个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)

12、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c≠1) 是等差数列。

高中数列题型总结 第4篇

高中数学数列知识点

数列的函数理解：

①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N_或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式(注：通项公式不)。

数列通项公式的特点：

(1)有些数列的通项公式可以有不同形式，即不。

(2)有些数列没有通项公式(如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...)。

递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

数列递推公式特点：

(1)有些数列的递推公式可以有不同形式，即不。

(2)有些数列没有递推公式。

有递推公式不一定有通项公式。

注：数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。

等差数列通项公式

an=a1+(n-1)d

n=1时a1=S1

n≥2时an=Sn-Sn-1

an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b

等差中项

由三个数a，A，xxx的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。

有关系：A=(a+b)÷2

前n项和

倒序相加法推导前n项和公式：

Sn=a1+a2+a3+xxx··+an

=a1+(a1+d)+(a1+2d)+xxxxxx+[a1+(n-1)d]①

Sn=an+an-1+an-2+xxxxxx+a1

=an+(an-d)+(an-2d)+xxxxxx+[an-(n-1)d]②

由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+xxxxxx+(a1+an)(n个)=n(a1+an)

∴Sn=n(a1+an)÷2

等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：

Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2

Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)

亦可得

a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n

an=2sn÷n-a1

有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

等差数列性质

一、任意两项am，an的关系为：

an=am+(n-m)d

它可以看作等差数列广义的通项公式。

二、从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N_

三、若m，n，p，q∈N_，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq

四、对任意的k∈N_，有

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列。

怎么样提高数学成绩

首先想要提升数学成绩，成为数学学霸的前提是要对数学有良好的学习兴趣。其次要学会课前预习，方便自己能够更加深入的吃透课堂上的知识点。然后还要学会总结复习，总结自己课堂上的问题，复习课堂上的重要知识点，从而提高自己的数学成绩。

提升数学成绩还要拥有一个错题本，和数学资料。认真对待自己的学习工具，多做练习题，找出自己的薄弱环节和自己常犯的题型，记在错题本上，常练习，常巩固。在自己的数学资料中摸索出适合自己的解题技巧，反复练习加以运用，一定会提升你的数学成绩。

学会听课，在课堂上勇于提问。数学最重要的部分都是在课本上，所以必须要掌握好课堂的45分钟。把握好数学课本，为自己打下一个好基础，这样才能更有效的提升你的数学成绩。学会做课堂笔记，把每节课的重要知识点记下来，以便接下来的复习。

学好数学的方法技巧整理

预习的方法

上课之前一定要抽时间进行预习，有时预习比做作业更重要，因为通过预习我们可以初步掌握课程的大致内容，听课就能够把握好重点，针对性比较强，还会带着问题去听课，听课效率就会比较高，上课听明白了，完成作业也会更好更快，最终会形成良性循环。

听懂课的习惯

注意听教师每节课强调的学习重点，注意听对定理、公式、法则的引入与推导的方法和过程，注意听对例题关键部分的提示和处理方法，注意听对疑难问题的解释及一节课最后的小结，这样，抓住重、难点，沿着知识的发生发展的过程来听课，不仅能提高听课效率，而且能由“听会”转变为“会听”。

不断练习

不断练习是指多做数学练习题。希望学好数学，多做练习是必不可少的。做练习的原因有以下三点：第一，熟练和巩固学到的数学知识;二，引导同学灵活运用所学知识点以及独立思考独立做题的水平;第三，融会贯通。通过做题将所学的所有知识点结合起来，加深同学对数学体系化的理解。

高中数列题型总结 第5篇

求证\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k+1}}＜ ln（n+1）＜\sum_{k=1}^{n}{}\frac{1}{k}

观察该项式子，左边为\frac{1}{n+1}的和，中间为ln（n+1）.\\我们可以把ln（n+1）看作某一个数列的和，做差即得通项\\我们便有以下猜想是否有\frac{1}{n+1}\leq ln(n+1)-lnn成立，假如成立，\\便有原式成立，即等价于\frac{1}{n+1}\leq ln(1+\frac{1}{n}),换元利用导数证明即可，\\可自行尝试证明右边

ps：这个有点像归纳法的第三步证明，当然也可采取积分放缩，见下文

如：求证：\frac{ln2}{3}+\frac{ln3}{4}+\frac{ln4}{5}+...+\frac{lnn}{n-1}＜\frac{n(n-1)}{4}\\解：通项分析可得只需证明\frac{lnn}{n+1}＜\frac{n-1}{2},即证lnn＜\frac{n^2-1}{2},\\又有lnn\leq n+1<\frac{n^2-1}{2}或者求导证明也可，所以原式子显然成立

ps：通项分析对一些数列放缩提供了一种好方法!

放缩成裂项

如：c_n=\sqrt{\frac{n-1}{n(n+1)}},证明：c_1+c_2+c_3+...+c_n<2\sqrt{n}\\解：通项分析我们有以下猜想：\sqrt{\frac{n-1}{n(n+1)}}<2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}),\\于是我们尝试放缩\sqrt{\frac{n-1}{n(n+1)}}<\sqrt{\frac{n+1}{n(n+1)}}=\sqrt{\frac{1}{n}}=\frac{2}{2\sqrt n}<\frac{2}{\sqrt {n-1}+\sqrt n}\\=2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})

ps：此题为2019年浙江高考数列，参考答案用归纳法即证

但一般来说，会碰到和式右端为一个常数，这时候一般都是放缩为裂项或放缩为等比数列

我们来探索一下放缩成裂项求和

以\frac{1}{n^2}为例\\(1)1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}<2\\证：有\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n},于是1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\\<1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=2-\frac{1}{n}<2\\(2)1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{7}{4}\\证：\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n^2-1}=\frac{1}{(n+1)(n-1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}),于是\\1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\\<1+\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})\\=1+\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})<\frac{7}{4}

(3)1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{33}{20}\\证：n^2>n^2-\frac{1}{4}=(n-\frac{1}{4})(n+\frac{1}{2}),则\frac{1}{n^2}<\frac{1}{(n-\frac{1}{2})(n+\frac{1}{2})}\\=2(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})\\1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\\<1+2(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})\\=1+2(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1})<\frac{5}{3},我们发现放缩过头了，于是我们尝试保留两项\\1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\\<1+\frac{1}{2^2}+2(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})=1+\frac{1}{4}+2(\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+1})<\frac{33}{20}

ps：实际上 \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi^2}{6} ,有时候需要保留前几项提高精确度。

拓展：

对于n^2+bn+c型放缩，有\frac{1}{n^2+bn+c}\leq\frac{1}{a_na_{n+k}}=\frac{1}{(n+\lambda)(n+k+\lambda)},\\其中n,k\in N^*,b,c\lambda\in R\\由n^2+bn+c\geq(n+\lambda)(n+k+\lambda),得（b-k-2\lambda）n+(c-\lambda k-\lambda^2)\geq0\\为了达到最好的放缩目的，应当使得不等式相等或接近，\\令b-k-2\lambda=0,c-\lambda k-\lambda ^2\geq0,连列得k\geq\sqrt{b^2-4c}，\\\lambda=\frac{b-k}{2},让k取得不等式最小得正整数即可

可尝试用上述方法放缩\frac{1}{2n^2+n-1}

等比数列放缩

已知a_n=3^n+3,求证：\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_n}<\frac{1}{3}

证：\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_n}<\frac{1}{6}+(\frac{1}{9}+...+\frac{1}{3^n})<\frac{1}{6}+\frac{\frac{1}{9}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}

已知a_n=3^n-2^n,求证：\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_n}<\frac{3}{2}

证：a_n=3^n-2^n\geq\frac{5}{4}\cdot2^n=5\cdot2^{n-2},于是\\\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_n}+...+\frac{1}{a_n}\leq\frac{1}{5}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-2}})=\\1+\frac{1}{5}\cdot\frac{1-\frac{1}{2^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}<\frac{7}{5}<\frac{3}{2}

ps：放缩方法有多种 假如a>b,a^n-b^n>A\cdot b^n或>B\cdot a^{n-1}

求证：（\frac{1}{n}）^n+(\frac{2}{n})^n+...+(\frac{n}{n})^n<\frac{e}{e-1}

解：(\frac{1}{n}）^n+(\frac{2}{n})^n+...+(\frac{n}{n})^n\\=(\frac{n}{n})^n+(\frac{n-1}{n})^n+...+(\frac{1}{n})^n\\=(\frac{n-0}{n})^n+(\frac{n-1}{n})^n+...+(\frac{n-(n-1)}{n})^n\\=(1-\frac{0}{n})^n+(1-\frac{1}{n})^n+...+(1-\frac{n-1}{n})^n,\\观察得\frac{e}{e-1}=\frac{1}{1-\frac{1}{e}}>1+\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}+...+\frac{1}{e^{n-1}}\\尝试证明\frac{1}{e^k}\geq(1-\frac{k}{n})^n\Leftrightarrow e^{-\frac{k}{n}}\geq1-\frac{k}{n},显然成立

例：已知数列\{a_n\}的前n项和为S_n,且满足S_n=2a_n-1(n\in N^*)\\ (1)求数列\{a_n\}的通项公式\\ （2）求证：\frac{a_3}{S^2_2}+\frac{a_4}{S_3^2}+...+\frac{a_{n+2}}{S_{n+1}^2}<2,n\in N^{*}

解：(1)当n=1时，a_1=2a_1-1\Rightarrow a_1=1\\当n\geq2时，通过做差有a_n=2a_n-2a_{n-1}\Rightarrow a_n=2\cdot a_{n-1}\\所以a_n=2^{n-1}

(2)（裂项放缩），由（1）易得S_n=2^n-1,所以\frac{a_{n+2}}{S_{n+1}^2}=\frac{2^{n+1}}{(2^{n+1}-1)^2}\\\le\frac{2^{n+1}}{(2^{n+1}-1)(2^{n}-1)}=2(\frac{1}{2^n-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1})\\所以\frac{a_3}{S^2_2}+\frac{a_4}{S_3^2}+...+\frac{a_{n+2}}{S_{n+1}^2}<2(\frac{1}{2-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1})=2-\frac{2}{2^{n+1}-1}<2

(等比放缩)\frac{a_{n+2}}{S_{n+1}^2}=\frac{2^{n+1}}{(2^{n+1}-1)^2}=\frac{2^{n+1}}{(2^{n+1})^2-2\cdot2^{n+1}+1}=\frac{1}{2^{n+1}+\frac{1}{2^{n+1}}-2},\\因为（2^{n+1}+\frac{1}{2^{n+1}}-2）-2^n=2^{n}+\frac{1}{2^{n+1}}-2>0\\于是\frac{a_{n+2}}{S_{n+1}^2}=\frac{2^{n+1}}{(2^{n+1}-1)^2}<\frac{1}{2^n},\\\frac{a_3}{S^2_2}+\frac{a_4}{S_3^2}+...+\frac{a_{n+2}}{S_{n+1}^2}<\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...\frac{1}{2^n}=\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^n})}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}<1<2

估阶

对于递推数列 a_{n+1}=f(a_n) ,我们可以进行大致估计。

2021年的浙江高考选择题

ps：这里仅仅对数列进行大致估计，对于答案的完整过程可以看其他解答。

\text{ 对于}a_1=1,a_{n+1}=\frac{a_n}{1+\sqrt{a_n}},\text{容易知道}a_n\text{越来越小最后接近于}0，\text{我们可以设想找到一个}a_n\sim f\left( n \right) ,\\\text{这样就可以在}n\text{越大的时候}\text{就可以用}f\left( n \right) \text{近似的代替}a_n,\text{即找到}\frac{a_n}{n^{\alpha}}\text{等于一个常数，但这样比较难}\\\text{找到，等价的我们也可以找到}\frac{a_{n}^{\alpha}}{n}\text{等于一个常数，即}

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{n}^{\alpha}}{n}\xlongequal{stolz}\frac{a_{n+1}^{\alpha}-a_{n}^{\alpha}}{n+1-n}=\left( \frac{a_n}{1+\sqrt{a_n}} \right) ^{\alpha}-a_{n}^{\alpha}=a_{n}^{\alpha}\left( \left( 1+\sqrt{a_n} \right) ^{-\alpha}-1 \right) =-\alpha a_{n}^{\alpha +\frac{1}{2}}

即\alpha =-\frac{1}{2}， 于是 a_n\sim \frac{4}{n^2}

我们知道越大越接近于是可以尝试保留前几项开始估计（主要是不知道谁大谁小，所以只能估计）

a_1+a_2+a_3+4\sum_{k=4}^{100}{\frac{1}{k^2}}

这样就可以大致的选择了。

\text{我们可以进一步探究}a_{n+1}^{-\frac{1}{2}}=\left( \frac{a_n}{1+\sqrt{a_n}} \right) ^{-\frac{1}{2}}=a_{n}^{-\frac{1}{2}}\left( \frac{1}{1+\sqrt{a_n}} \right) ^{-\frac{1}{2}}=a_{n}^{-\frac{1}{2}}\left( 1+\frac{\sqrt{a_n}}{2}-\frac{a_n}{8}+O\left( a_{n}^{\frac{3}{2}} \right) \right) \\ \text{即}a_{n+1}^{-\frac{1}{2}}-a_{n}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}-\frac{a_{n}^{\frac{1}{2}}}{8}+O\left( a_{n}^{\frac{3}{2}} \right) =\frac{1}{2}-\frac{1}{4n}+O\left( \frac{1}{n^3} \right) \\ a_{n}^{-\frac{1}{2}}-1=\frac{n-1}{2}-\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{k}}+O\left( \sum_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{k^3}} \right) ,a_n=\frac{n}{2}-\frac{\ln n}{4}+O\left( 1 \right) \\ a_n=\left( \frac{n}{2}-\frac{\ln n}{4}+O\left( 1 \right) \right) ^{-2} \\ \,\, =\frac{4}{n^2}\left( 1-\frac{\ln n}{2n}+O\left( \frac{1}{n} \right) \right) ^{-2} \\ \,\, =\frac{4}{n^2}+\frac{4\ln n}{n^3}+O\left( \frac{1}{n^3} \right) \\ \text{于是就可以大致估计}a_n\text{的较大的项。} \\

为了看看精度如何，利用如下代码

第一列是数列的标准值，第二列只估计了1阶，第三列估计了2阶，由此可见，精度还是挺高的。

当然一般第1阶有其他形式，如 \alpha n^{\beta},\alpha \ln^{\beta},\alpha \beta^{n} 以及三种的混合形式，但常见的就这三种。

例：数列{a_n}的前n项和为S_n,a_1=1,且a_{n+1}=\frac{a_n}{6a_n+5\sqrt{a_n}+1}(n\in N^*),则()\\

解1:对a_{n+1}=\frac{a_n}{6a_n+5\sqrt{a_n}+1}两边取倒数得\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}+\frac{5}{\sqrt{a_n}}+6<(\frac{1}{\sqrt{a_n}}+\frac{5}{2})^2\\ 所以\frac{1}{\sqrt{a_{n+1}}}<\frac{1}{\sqrt{a_n}}+\frac{5}{2},累加得\frac{1}{\sqrt{a_n}}\leq1+\frac{5}{2}(n-1)\Rightarrow a_n\geq(\frac{2}{5n-3})^2,故a_{n+1}<\\\frac{a_n}{5\sqrt{a_n}+1}\leq\frac{a_n}{\frac{5n+7}{5n-3}}\Rightarrow\frac{a_{n+1}}{a_n}<\frac{5n-3}{5n+7},累乘得a_n<\frac{5n-8}{5n+2}\cdot\frac{5n-13}{5n-3}\cdot\cdot\cdot\cdot\frac{a_2}{a_1}\cdot a_1=\\\frac{14}{(5n+2)(5n-3)},即a_n\leq\frac{14}{(5n+2)(5n-3)}=\frac{14}{5}(\frac{1}{5n-3}-\frac{1}{5n+2})，所以S_n\leq\\\frac{14}{5}[(\frac{1}{2}-\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}-\frac{1}{12})+\cdot\cdot\cdot+(\frac{1}{5n-3}-\frac{1}{5n+2})]=\frac{14}{5}(\frac{1}{2}-\frac{1}{5n+2})<\frac{7}{5},所以 显然A

高中数列题型总结 第6篇

数学必修五数列知识点归纳

数列的函数理解：

①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N_或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

2.通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式(注：通项公式不)。

数列通项公式的特点：

(1)有些数列的通项公式可以有不同形式，即不。

(2)有些数列没有通项公式(如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...)。

3.递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

数列递推公式特点：

(1)有些数列的递推公式可以有不同形式，即不。

(2)有些数列没有递推公式。

有递推公式不一定有通项公式。

注：数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。

等差数列通项公式

an=a1+(n-1)d

n=1时a1=S1

n≥2时an=Sn-Sn-1

an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b

等差中项

由三个数a，A，xxx的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。

有关系：A=(a+b)÷2

前n项和

倒序相加法推导前n项和公式：

Sn=a1+a2+a3+xxx··+an

=a1+(a1+d)+(a1+2d)+xxxxxx+[a1+(n-1)d]①

Sn=an+an-1+an-2+xxxxxx+a1

=an+(an-d)+(an-2d)+xxxxxx+[an-(n-1)d]②

由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+xxxxxx+(a1+an)(n个)=n(a1+an)

∴Sn=n(a1+an)÷2

等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：

Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2

Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)

亦可得

a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n

an=2sn÷n-a1

有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

等差数列性质

一、任意两项am，an的关系为：

an=am+(n-m)d

它可以看作等差数列广义的通项公式。

二、从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N_

三、若m，n，p，q∈N_，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq

四、对任意的k∈N_，有

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列。

cos是什么意思数学

cos是余弦函数的表达式。余弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1，1]。它是周期函数，其最小正周期为2π，在自变量为2kπ(k为整数)时，该函数有极大值1;在自变量为(2k+1)π时，该函数有极小值-1。余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。

合数的概念

合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数(0除外)整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质dao数也不属于合数。最小的合数是4。其中，完全数与相亲数是以它为基础的。

高中数列题型总结 第7篇

高中数列知识点总结

高中数列知识点总结

1、高二数学数列的定义

按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项。

(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列。

(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，…。

(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n。

(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的'数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别。如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合。

2、高二数学数列的分类

(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列。在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列。

(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。

3、高二数学数列的通项公式

数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，

这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一。如：数列1，2，3，4，…，

由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循。

再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：

(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式。

(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项。

(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式。

如2的不足近似值，精确到1，0。1，0。01，0。001，0。000 1，…所构成的数列1，1。4，1。41，1。414，1。414 2，…就没有通项公式。

(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：

(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一。

4、高二数学数列的图象

对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：

序号：1 2 3 4 5 6 7

项： 4 5 6 7 8 9 10

这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射。因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值。这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数。

由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式。

数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的。

数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确。

把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点。

5、高二数学递推数列

高中数列题型总结 第8篇

高中数学知识点汇总

1.必修课程由5个模块组成：

必修1：集合，函数概念与基本初等函数(指数函数，幂函数，对数函数)

必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上所有的知识点是所有高中生必须掌握的，而且要懂得运用。

选修课程分为4个系列：

系列1：2个模块

选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图

系列2:3个模块

选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何

选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数

选修2-3：计数原理、随机变量及其分布列、统计案例

选修4-1：几何证明选讲

选修4-4：坐标系与参数方程

选修4-5：不等式选讲

2.重难点及其考点：

重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数

难点：函数，圆锥曲线

高考相关考点：

1.集合与逻辑：集合的逻辑与运算(一般出现在高考卷的第一道选择题)、简易逻辑、充要条件

2.函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数函数、对数函数、函数的应用

3.数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求通项、求和

4.三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和差倍半公式、求值、化简、证明、三角函数的图像及其性质、应用

5.平面向量:初等运算、坐标运算、数量积及其应用

6.不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式(经常出现在大题的选做题里)、不等式的应用

7.直线与圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系

8.圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用

9.直线、平面、简单几xxx：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量

10.排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用

11.概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布

12.导数：导数的概念、求导、导数的应用

13.复数：复数的概念与运算

高中数学学习要注意的方法

1.用心感受数学，欣赏数学，掌握数学思想。有位数学家曾说过：数学是用最小的空间集中了的理想。

2.要重视数学概念的理解。高一数学与初中数学的区别是概念多并且较抽象，学起来“味道”同以往很不一样，解题方法通常就来自概念本身。学习概念时，仅仅知道概念在字面上的含义是不够的，还须理解其隐含着的深层次的含义并掌握各种等价的表达方式。例如，为什么函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，而y=f(x)与x=f-1(y)却有相同的图象;又如，为什么当f(x-1)=f(1-x)时，函数y=f(x)的图象关于y轴对称，而y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象却关于直线x=1对称，不透彻理解一个图象的对称性与两个图象的对称关系的区别，两者很容易混淆。

3.对数学学习应抱着二个词――“严谨，创新”，所谓严谨，就是在平时训练的时候，不能一丝马虎，是对就是对，错了就一定要承认，要找原因，要改正，万不可以抱着“好像是对的”的心态，蒙混过关。至于创新呢，要求就高一点了，要求在你会解决此问题的情况下，你还会不会用另一种更简单，更有效的方法，这就需要扎实的基本功。平时，我们看到一些人，做题时从不用常规方法，总爱自己创造一些方法以“偏方”解题，虽然有时候也能让他撞上一些好的方法，但我认为是不可取的。因为你首先必须学会用常规的方法，在此基础上你才能创新，你的创新才有意义，而那些总是片面“追求”新方法的人，他们的思维有如空中楼阁，必然是昙花一现。当然我们要有创新意识，但是，创新是有条件的，必须有扎实的基础，因此我想劝一下那些基础不牢，而平时总爱用“偏方”的同学们，该是清醒一下的时候了，千万不要继续钻那可怜的牛角尖啊!

4.建立良好的学习数学习惯，习惯是经过重复练习而xxx来的稳重持久的条件反射和自然需要。建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间，以便加宽知识面和培养自己再学习能力。

5.多听、多作、多想、多问：此“四多”乃培养数学能力的要诀，“听”就是在“学”，作是“练习”(作课本上的习题或其它问题)，也就是把您所学的，应用到解决问题上。“听”与“作”难免会碰到疑难，那就要靠“想”的功夫去打通它，假如还想不通，解不来就要“问”――问同学、问老师或参考书，务必将疑难解决为止。这就是所谓的学问：既学又问。

6.要有毅力、要有恒心：基本上要有一个认识：数学能力乃是长期努力累积的结果，而不是一朝一夕之功所能达到的。您可能花一天或一个晚上的功夫把某课文背得滚瓜烂熟，第二天考背诵时对答如流而获高分，也有可能花了一两个礼拜的时间拼命学数学，但到头来数学可能还考不好，这时候您可不能气馁，也不必为花掉的时间惋惜。

高中数学复习的五大要点分析

一、端正态度，切忌浮躁，忌急于求成

在第一轮复习的过程中，心浮气躁是一个非常普遍的现象。主要表现为平时复习觉得没有问题，题目也能做，但是到了考试时就是拿不了高分!这主要是因为：

高中数列题型总结 第9篇

高二数学的数列知识点总结

高考题中的数列试题,往往比较难,同学们有点怕,究其原因,还是数列试题综合性强,变形灵活，为大家分享了高二数学数列知识点的总结，一起来看看吧！

数列概念

①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

等差数列

1.等差数列通项公式

an=a1+(n-1)d

n=1时a1=S1

n≥2时an=Sn-Sn-1

an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b

2.等差中项

由三个数a，A，xxx的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。

有关系：A=(a+b)÷2

3.前n项和

倒序相加法推导前n项和公式：

Sn=a1+a2+a3+xxx··+an

=a1+(a1+d)+(a1+2d)+xxxxxx+[a1+(n-1)d]①

Sn=an+an-1+an-2+xxxxxx+a1

=an+(an-d)+(an-2d)+xxxxxx+[an-(n-1)d]②

由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+xxxxxx+(a1+an)(n个)=n(a1+an)

∴Sn=n(a1+an)÷2

等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：

Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2

Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)

亦可得

a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n

an=2sn÷n-a1

有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

4.等差数列性质

一、任意两项am，an的关系为：

an=am+(n-m)d

它可以看作等差数列广义的通项公式。

二、从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N*

三、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq

四、对任意的.k∈N*，有

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列。

等比数列

1.等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，xxx等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

有关系：

注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。

2.等比数列通项公式

an=a1*q’(n-1)(其中首项是a1，公比是q)

an=Sn-S(n-1)(n≥2)

前n项和

当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为

Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1*q’n)/(1-q)(q≠1)

当q=1时，等比数列的前n项和的公式为

Sn=na1

3.等比数列前n项和与通项的关系

an=a1=s1(n=1)

an=sn-s(n-1)(n≥2)

4.等比数列性质

(1)若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq;

(2)在等比数列中，依次每k项之和xxx等比数列。

(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}

(4)等比中项：q、r、xxx等比数列，则aq·ap=ar，ar则为ap，aq等比中项。

记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

(5)等比数列前n项之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)

(6)任意两项am，an的关系为an=am·q’(n-m)

(7)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。

注意：上述公式中a’n表示a的n次方。