向量乘法总结 第1篇

xxx (tensor product) 又叫克罗内克积 (Kronecker product)，两个列向量 a 和 b xxx a ⊗ b 定义如下：

向量 a 和其自身xxx a ⊗ a 结果为方阵：

xxx常见性质:

几何视角

从几何图像角度解释向量的xxx，图 29所示为：

举个例子

观察 (89)，利用矩阵乘法展开，发现 a ⊗ b 可以写成两种形式：

上式中，第一种形式相当于，a 先按不同比例 (bj) 缩放得到 bja*，再左右排列。第二种形式相当于，b T先按不同比例 (*ai) 缩放得到 aib** T，再上下叠加。

xxx更加底层的认知还没有，只能先记住定义和他的作用啦。

每个分量只有一个下标，因为每个分量只由一个基向量构成（one basis vector per component），所以向量也称为[1阶xxx]（Tensors of rank 1）。

相应的，标量（scalar）也称为[0阶xxx]（Tensors of rank 0），因为标量没有方向，因此也就不存在基向量，可以说标量的每个分量是由0个基向量构成的。

更高阶的xxx

想象在该物体里有一个平面，这个平面的朝向需要用一个向量来表示，为了表示该向量需要引入1组（3个）基向量；

在每个平面上有一个力，这个力则需要用第二个向量来表示，这样对于第一组中每个基向量又引入了第2组（3个）基向量与之组合。

如果想要表示所有的平面与平面上的力的组合，需要9个分量，每个分量有2个下标（index）来表示该分量由哪两个基向量组合构成。

Axx表示在法线为x方向的平面上的方向为x方向的力。

这9个分量与9个基向量共同组成了[2阶xxx]

升维

继续提高维度，现在每个分量有3个下标，所有的下标组合共有333=27个，故共有27组基向量，不同基向量对应一个分量

总结：什么是xxx以及为什么xxx这么有用呢？

xxx是一种表示物理量的方式，这个方式就是用基向量与分量组合表示物理量（Combination of basis vector and component）。

由于基向量可以有丰富的组合，xxx可以表示非常丰富的物理量。

此外，xxx所描述的物理量是不随观察者或者说参考系而变化的，当参考系变化时（其实就是基向量变化），其分量也会相应变化，最后结果就是基向量与分量的组合（也就是xxx）保持不变。

考虑到xxx有如此强大的表示能力，又不随观察者不同而变化，能够有效的表示宇宙间的万物，Lillian R. Lieber给了xxx一个形象的称呼the fact of the universe.

向量乘法总结 第2篇

xxx (vector product) 也叫叉乘 (cross product)，xxx结果为向量。也就是说，xxx一种“向量 → 向量”的运算规则。

a 和 b xxx，记做 a × b。a × b 作为一个向量，我们需要了解它的方向和大小两个成分

a × b 方向分别垂直于向量 a 和 b，即 a × b 垂直于向量 a 和 b 构成平面

向量 a 和 b 以及 a × b 三者关系可以用右手法则判断，如图 25所示。

a × b 模，也就是 a × b xxx大小，通过下式获得：

几何角度

从几何角度，xxx的模 ||a × b|| 相当于图中平行四边形的面积。

如图所示

图(a)中空间直角坐标系中三个正交向量 e1 (i) (横轴正方向)、e2 (j) (纵轴正方向) 和e3 (k) (竖轴正方向) 向量叉乘关系存在如下关系：

图(b) 展示以上三个等式中 i、j 和 k 前后顺序关系。若调换 上式 叉乘元素顺序，结果反向，对应以下三个运算式：

特别的，向量与自身叉乘等于 0 向量，比如：

叉乘运算常见性质：

在三维直角坐标系中，用 i、j 和 k 表达向量 a 和 b：

整理向量 a 和 b 叉乘，如下：

向量乘法总结 第3篇

通过向量内积推导，可以得到非零向量 a 和 b 夹角余弦值：

通过反余弦，可以得到向量 a 和 b 夹角：

将向量放在极坐标中解释向量夹角余弦值。

给定向量 a 和 b 坐标如下：

角度 θ_a和 θ_b的正弦和余弦可以通过下式计算得到：

根据角的余弦和差恒等式，cos(θ) 可以由 θ_a和 θ_b正、余弦构造：

将 (67) 代入 (68) 得到：

给定两个非 0 向量 a 和 b，首先计算它们各自方向上的单位向量：

两个单位向量的内积就是夹角的余弦值

平面直角坐标系中 e1和 e2分别代表为沿着横轴、纵轴的单位向量。它们相互正交，也就是向量内积为 0：

v1、v2构造如图 20 (b) 所示直角坐标系。

w1、w2也可以构造如图 20 (c) 所示直角坐标系

平面上，成对正交单位向量有无数组，比如图 21所示平面两组正交单位向量：

[e1, e2]、[v1, v2]、[w1, w2] 都叫做 的规范正交基 (orthonormal basis)

而且大家很快就会发现 [e1, e2] 旋转一定角度可以得到 [v1, v2]、[w1, w2]

向量乘法总结 第4篇

向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

对于向量和向量：a和b的点积公式为：注意：要求一维向量a和向量b的行列数相同。

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：推导过程如下，首先看一下向量组成：

定义向量：根据三角形余弦定理有：根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：即：向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 正交，相互垂直 方向基本相反，夹角在90°到180°之间

两个向量的叉乘，又叫xxx、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。对于向量a和向量b：其中：根据i、j、k间关系，有：

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直xxx和b向量构成的平面。在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直xxx，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：a×b等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。