不定积分的求法总结(热门12篇)

2024-02-12 13:39:42 92

不定积分的求法总结第1篇

不定积分的方法总结

教学过程：

在实际问题的解决过程中，我们不仅要用到求导数和微分，还要用到与求导数和微分相反的计算即积分运算.也就是由函数的导数求原函数,它是积分学的基本问题之一-----求不定积分.

一、原函数

1．引例1：已知物体运动xxx s(t)，则其速度是物体位移s对时间t的导数.反过来,已知物体的速度v是时间t的函数v v(t),求物体的运动xxx s(t),使它的导数s (t)等于v v(t),这就是求导函数的逆运算问题.引例2:已知某产品的产量P是时间t的函数P P(t),则该产品产量的变化率是产量P对时间t的导数P (t).反之,若已知某产量的变化率是时间t的函数P (t),求该产品产量函数P(t),也是一个求导数运算的逆运算的问题.

2.【定义】（原函数）设f(x)是定义在区间I上的函数．若存在可导函数F(x)，对 x I均有F (x) f(x)ordF(x) f(x)dx,则称F(x)为f(x)在I上的一个原函数.

例如：由(sinx) cosx知sinx是cosx的.一个原函数；又(sinx 5) cosx,(sinx c) cosx（c是常数），所以sinx 5,sinx c也都是函数cosx的一个原函数.

再如：由(2x3) 6x2知2x是6x的一个原函数；32

(2x3 c) 6x2，所以2x3 c（c是常数）也是6x2的一个原函数．

注意：没有指明区间时，xxx认为区间就是函数定义域．

二、不定积分

1．原函数性质

观察上述例子知：函数的原函数不唯一，且有性质

(1)若f(x) C(I),则f(x)存在I上的原函数F(x).

(2)若F(x)为f(x)在I上的一个原函数，则F(x) C都是f(x)的原函数,其中C为xxx数.

(3)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则

F(x) G(x) C.

证明： F(x) G(x)

F (x) G (x) f(x) f(x) 0.

C R, (x) G(x) C.

(4)设F(x)为f(x)在I上的原函数,则f(x)在I上全体原函数为F(x) C（其中C为xxx数）.2.【定义】函数f(x)在I上的全体原函数称为f(x)在I上的不定积分,记作 C R,. f(x)dx.

即若F(x)为f(x)在I上的一个原函数,则有 f(x)dx F(x) C,C为xxx数.

说明：(1) ---积分号；(2)f(x)---被积函数；

(3)f(x)dx----被积表达式.(4)x----积分变量.

3.结论：

①连续函数一定有原函数．

②f(x)若有原函数,则有一簇原函数.它们彼此只相差一个常数.

提问：初等函数在其定义区间上是否有原函数？例：edx,sinxdx， x2 2sinx xdx）

（一定有原函数，但原函数不一定还是初等函数.）例1求（1）3xdx；（2）x5dx. 2

解（1）∵(x) 3x，∴32233xdx x C.

x6 x6

55（2） C. x, xdx 6 6

例2求解1 1 x2dx. arctanx 1,21 x

1 1 x2dx arctanx C.

1提问： dx arccotx C对吗？1 x2

1例3求

11解: (lnx) , dx lnx

例4:某商品边际成本为100 2x,则总成本函数为C(x) (100 2x)dx 100x x2 C.

3．导数与不定积分的关系

f (x)dx f(x) C.

(1)* df(x) f(x) C.(1)

df(x)dx f(x). dx

(2)*d f(x)dx f(x)dx.(2)

可见：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.

提问:如何验证积分的结果是正确的?(积分的导数是被积函数时正确)

二、不定积分的几何意义

如图： f(x)dx F(x) C，

函数f(x)的不定积分表示

斜率为f(x)的原函数对应的

一簇积分曲线.在同一点x0处

积分曲线簇的切线平行.

此曲线蔟可由F(x)沿y轴上下平行移动而得到．积分曲线：函数f(x)原函数y F(x)的图形称为f(x)

的积分曲线.

不定积分的几何意义：f(x)的不定积分是一簇积分曲线F(x) C.且在同一点x0处积分曲线簇的切线互相平行.

例5设曲线通过点P(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线为y f(x),依题意知

x2dy 2x,dx 2x, 2xdx x2 C,

2于是f(x) x C,

由f(1) 2 C 1,

所求曲线方程为y x 1.

提问：如何验证积分的结果是正确的？（结果求导必须是被积函数）

小结：

1．F(x)为f(x)在I上的原函数,则f(x)在I上全体原函数F(x) c为f(x)的不定积分，即2

f(x)dx F(x) c

2．注意当积分号消失时常数c产生．

3．熟记积分公式，注意将被积函数恒等变形后用公式计算不定积分．

课后记：存在的问题不能正确理解几何意义；计算错误较多，找不对原函数，写掉积分常数C.

【提问】判断下列结论是否正确

（不正确说明理由）

(1)3dx 3x C.(2)xdx

(3)

515x C6 C.

(4) 1

x2 1x C.(5) 1

x lnx C.

(6) 5xdx 5xln5 C.

(7) 2exdx ex C.

(8) 2sinxdx cosx C.(9) 1

1 x2dx arctanx c arccotx C.

(10) sec2xdx tanx C.

(11) csc2xdx cotx C.

(12) arcsinx C arccosx C.

(13) secxtanxdx secx C.

(12) cscxcotxdx cscx C.

不定积分的求法总结第2篇

1. 利用函数奇偶性

2. 利用函数周期性

3. 参考不定积分计算方法

二、定积分与极限

1. 积和式极限

2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限

3. 洛必达法则

4. 等价无穷小

三、定积分的估值及其不等式的'应用

1. 不计算积分，比较积分值的大小

1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有

f(x)>=g(x),则 >= dx

2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)

b) 当0

2. 估计具体函数定积分的值

积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则

M(b-a)<= <=M(b-a)

3. 具体函数的定积分不等式证法

1) 积分估值定理

2) 放缩法

3) xxx分不等式

≤ %

4. 抽象函数的定积分不等式的证法

1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性

2) 积分中值定理

3) 常数变易法

4) 利用泰勒公式展开法

四、不定积分计算方法

1. 凑微分法

2. 裂项法

3. 变量代换法

1) 三角代换

2) 根幂代换

3) 倒代换

4. 配方后积分

5. 有理化

6. 和差化积法

7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）

8. 降幂法

不定积分的求法总结第3篇

高中化学计算方法总结

高中化学教师,在开展计算教学时,应该引导学生掌握常见的解题方法与解题技巧,以促进教学效果的提升。下面为大家总结了高中化学几种计算方法，希望帮助到大家！

一、关系式法

所谓关系式法，就是根据化学概念、物质组成、化学反应方程式中有关物质的有关数量之间的关系，建立起已知和未知之间的关系式，然后根据关系式进行计算。利用关系式的解题，可使运算过程大为简化。

其中包括xxx法。所谓“xxx”就是以化学反应过程中存在的某些xxx关系如质量xxx、元素xxx、得失电子xxx，电荷xxx等。运用xxx法解题可避免在纷纭复杂的解题背景中寻找关系式，提高解题的准确度。

例1、有一在空气中放置了一段时间的KOH固体，经分析测知其含水、含取1g该样品投入25mL2mol／L的盐酸中后，多余的盐酸用／LKOH溶液恰好完全中和，蒸发中和后的溶液可得到固体的质量为多少？

【解析】本题化学反应复杂，数字处理烦琐，所发生的化学反应：KOH＋HCl＝KCl＋H2O K2CO3＋2HCl=2KCl＋H2O＋CO2↑

若根据反应通过所给出的量计算非常繁琐。

但若根据Cl—xxx，便可以看出：蒸发溶液所得KCl固体中的Cl—，全部来自盐酸中的Cl－，

即：生成的n(KCl)=n(HCl)＝×2mol/L m(KCl)=×2mol/L×

例2、将纯铁丝溶于过量稀盐酸中，在加热条件下，用去氧化溶液中Fe2＋，待反应后剩余的Fe2＋离子尚需溶液才能完全氧化，则KNO3被还原后的产物为

A、N2 B、NO

C、NO2 D、NH4NO3

【解析】根据氧化还原反应中得失电子的总数相等，Fe2＋变为Fe3＋

失去电子的总数等于NO3－和MnO4－

得电子的总数

设n为KNO3的还原产物中N的化合价，则

(÷56g/moL)×(3－2)=××(7－2)＋(÷101g/mol)×(5－n) 解得n=3 故KNO3的还原产物为NO。

答案为B

二、方程或方程组法

根据质量xxx和比例关系，依据题设条件设立未知数，列方程或方程组求解，是化学计算中最常用的方法，其解题技能也是最重要的计算技能。

例题3、有某碱金属M及其相应氧化物的混合物共10 g，跟足量水充分反应后，小心地将溶液蒸干，得到14 g无水晶体。该碱金属M可能是（）

A．锂B．钠C．钾D．铷

（锂、钠、钾、铷的原子量分别为：、23、39、）

【解析】设M的原子量为x

解得＞x＞

分析所给锂、钠、钾、铷的原子量，推断符合题意的正确答案是B、C。

三、xxx法

化学方程式既然能够表示出反应物与生成物之间物质的量、质量、气体体积之间的数量关系，那么就必然能反映出化学反应前后原子个数、电荷数、得失电子数、总质量等都是xxx的。巧用xxx规律，常能简化解题步骤、准确快速将题解出，收到事半功倍的效果。

例题4、将 g纯铁粉溶于适量稀H2SO4中，加热条件下，用 g KNO3氧化Fe2+，充分反应后还需 mol xxx才能完全氧化Fe2+，则KNO3的还原产物氮元素的化合价为___。

解析：＝＋，x＝3，5－3＝2。应填：+2。（得失电子xxx）

四、差量法

找出化学反应前后某种差量和造成这种差量的实质及其关系，列出比例式求解的方法，即为差量法。其差量可以是质量差、气体体积差、压强差等。

差量法的实质是根据化学方程式计算的巧用。它最大的优点是：只要找出差量，就可求出各反应物消耗的量或各生成物生成的量。

例5、将质量为m1的NaHCO3固体加热分解一段时间后，测得剩余固体的质量为m2.

(1)未分解的NaHCO3的质量为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

(2)生成的Na2CO3的质量为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

(3)当剩余的固体的质量为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，可以断定NaHCO3已完全分解。

五、平均值法

平均值法是巧解混合问题的一种常见的有效方法。

平均值法规律：混合物的平均相对分子质量、元素的质量分数、平均相对原子质量、生成的某指定物质的量总是介于组份的相应量的最大值和最小值之间。

解题方法：解题时首先计算平均分子式或平均相对原子质量，再用十字交叉法计算出各成分的物质的量之比。

例题7、由锌、铁、铝、镁四种金属中的两种组成的.混合物10 g与足量的盐酸反应产生的氢气在标准状况下为 L，则混合物中一定含有的金属是（）

A．锌B．铁C．铝D．镁

【解析】各金属跟盐酸反应的关系式分别为：

Zn—H2↑Fe—H2↑

2Al—3H2↑Mg—H2↑

若单独跟足量盐酸反应，生成（标准状况）需各金属质量分别为：Zn∶；Fe∶28 g；Al∶9g；Mg∶12g。其中只有铝的质量小于10g，其余均大于10g，说明必含有的金属是铝。应选C。

六、极值法

巧用数学极限知识进行化学计算的方法，即为极值法。

例题8、4个同学同时分析一个由KCl和xxx组成的混合物,他们各取克样品配成水溶液,加入足够HNO3后再加入适量AgNO3溶液,待沉淀完全后过滤得到干燥的卤化银沉淀的质量如下列四个选项所示,其中数据合理的是（）

【解析】本题如按通常解法,混合物中含KCl和xxx,可以有无限多种组成方式,则求出的数据也有多种可能性,要验证数据是否合理,必须将四个选项代入,看是否有解,也就相当于要做四题的计算题,所花时间非常多.使用极限法,设克全部为KCl,根据KCl-AgCl,每克KCl可生成克AgCl,则可得沉淀为()*克,为最大值,同样可求得当混合物全部为xxx时,每119克的xxx可得沉淀188克,所以应得沉淀为()*188=克,为最小值,则介于两者之间的数值就符合要求,故只能选B和C.

七、讨论法

讨论法是一种发现思维的方法。解计算题时，若题设条件充分，则可直接计算求解；若题设条件不充分，则需采用讨论的方法，计算加推理，将题解出。

例题9、在30mL量筒中充满NO2和O2的混合气体，倒立于水中使气体充分反应，最后剩余5mL气体，求原混合气中氧气的体积是多少毫升？

【解析】最后5mL气体可能是O2，也可能是NO，此题需用讨论法解析。

解法（一）最后剩余5mL气体可能是O2；也可能是NO，若是NO，则说明NO2过量15mL。

设30mL原混合气中含NO2、O2的体积分别为x、y

4NO2+O2+2H2O=4HNO3

原混合气体中氧气的体积可能是10mL或3mL。

解法（二）：设原混合气中氧气的体积为y（mL）

（1）设O2过量：根据4NO2+O2+2H2O=4HNO3，则O2得电子数等于NO2失电子数。（y-5）×4=（30-y）×1 解得y=10（mL）

（2）若NO2过量：4NO2+O2+2H2O=4HNO3 4y y

3NO2+H2O=2HNO3+NO

因为在全部（30-y）mLNO2中，有5mLNO2得电子转变为NO，其余（30-y-5）mLNO2都失电子转变为HNO3。

O2得电子数+（NO2→NO）时得电子数等于（NO2→HNO3）时失电子数。

【评价】解法（二）根据得失电子xxx，利用阿伏加德罗定律转化信息，将体积数转化为物质的量简化计算。凡氧化还原反应，一般均可利用电子得失xxx法进行计算。无论解法（一）还是解法（二），由于题给条件不充分，均需结合讨论法进行求算。

4y+5×2=（30-y-5）×1

解得y=3（mL）

原氧气体积可能为10mL或3mL

不定积分的求法总结第4篇

定积分的计算方法总结

定积分

1、定积分解决的典型问题

（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程

2、函数可积的充分条件

●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。

●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

3、定积分的若干重要性质

●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m（b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a）,该性质说明由被积函数在积分区间上的.最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

●性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）。

4、关于广义积分

设函数f(x)在区间[a,b]上除点c（a

定积分的应用

1、求平面图形的面积（曲线围成的面积）

●直角坐标系下（含参数与不含参数）

●极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ）(扇形面积公式S=R2θ/2)

●旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程）

●平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx,其中A（x）为截面面积）

●功、水压力、引力

●函数的平均值（平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx）

不定积分的求法总结第5篇

③化学变化中，分子可分而原子不可分。

例：根据水的化学式H2O，你能读到的信息

化学式的含义 H2O

①表示一种物质水这种物质

②表示这种物质的组成水是由氢元素和氧元素组成的

③表示这种物质的一个分子一个水分子

④表示这种物质的一个分子的构成一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子构成的

2、水的化学性质

(1)通电分解 2H2O=== 2H2↑+O2↑

(2)水可遇某些氧化物反应生成碱(可溶性碱)，例如：H2O + CaO==Ca(OH)2

(3)水可遇某些氧化物反应生成酸，例如：H2O + CO2==H2CO3

3、水的污染：

(1)水资源

A.地球表面71%被水覆盖，但供人类利用的淡水小于 1%

B.海洋是地球上最大的储水库。海水中含有80多种元素。海水中含量最多的物质是 H2O ，最多的金属元素是 Na ，最多的元素是 O 。

C.我国水资源的状况分布不均，人均量少。

(2)水污染

A、水污染物：工业“三废”(废渣、废液、废气);农药、化肥的不合理施用

生活污水的任意排放

B、防止水污染：工业三废要经处理达标排放、提倡零排放;生活污水要集中处理达标排放、提倡零排放;合理施用农药、化肥，提倡使用农家肥;加强水质监测。

(3)爱护水资源：节约用水，防止水体污染

4、水的净化

(1)水的净化效果由低到高的是静置、吸附、过滤、蒸馏(均为物理方法)，其中净化效果最好的操作是蒸馏;既有过滤作用xxx吸附作用的净水剂是活性炭。

(2)硬水与软水

A.定义硬水是含有较多可溶性钙、镁化合物的水;

软水是不含或含较少可溶性钙、镁化合物的水。

B.鉴别方法：用肥皂水，有浮渣产生或泡沫较少的是硬水，泡沫较多的是软水

C.硬水软化的方法：蒸馏、煮沸

D.长期使用硬水的坏处：浪费肥皂，洗不干净衣服;锅炉容易结成水垢，不仅浪费燃料，还易使管道变形甚至引起锅炉爆炸。

5、其他

(1) 水是最常见的一种溶剂，是相对分子质量最小的氧化物。

(2) 水的检验：用无水硫酸铜，若由白色变为蓝色，说明有水存在;CuSO4+5H2O = CuSO4•5H2O

水的吸收：常用浓硫酸、生石灰、固体氢氧化钠、铁粉。

二、氢气 H2

1、物理性质：密度最小的气体(向下排空气法);难溶于水(排水法)

2、化学性质：

(1) 可燃性(用途：高能燃料;氢氧焰焊接，切割金属)

2H2+O2====2H2O xxx，要验纯(方法?)

现象：发出淡蓝色火焰，放出热量，有水珠产生

(2) 还原性(用途：冶炼金属)

H2 + CuO === Cu + H2O 氢气“早出晚归”

现象：黑色粉末变红色，试管口有水珠生成

(小结：既有可燃性，xxx还原性的物质 H2、C、CO)

3、氢气的实验室制法

原理：Zn + H2SO4 = ZnSO4 +H2↑ Zn + 2HCl = Znxxx +H2↑

不可用浓盐酸的原因浓盐酸有强挥发性 ;

不可用浓硫酸或硝酸的原因浓硫酸和硝酸有强氧化性。

4、氢能源三大优点无污染、放热量高、来源广

三、分子与原子

分子原子

定义分子是保持物质化学性质最小的微粒原子是化学变化中的最小微粒。

性质体积小、质量小;不断运动;有间隙

联系分子是由原子构成的。分子、原子都是构成物质的微粒。

区别化学变化中，分子可分，原子不可分。

化学反应的实质：在化学反应中分子分裂为原子，原子重新组合成新的分子。

不定积分的求法总结第6篇

不定积分解题方法总结

说到技巧，在数学当中可是浩如烟海。从常规数学学习当中的配凑，换元，裂项相消，错位相减，数形结合，到竞赛中的.化归，调整，算两次，这些技巧极大简化了解决问题的难度，也成为了很多人对于数学产生兴趣的来源，这其中也包括了我。当然，在逐渐接触到越来越多更加高等的数学后，我明白当时对于数学的理解可谓十分浅薄，这门学xxx这些模式化的计算和技巧的堆积要精彩太多。然而，虽然技巧只是数学汪洋当中微不足道的一隅，他们仍然是数学学习中非常重要的一部分。时至今日，我仍然会去关注和探索在初等和高等数学中的小技巧，因为我享受发现和使用技巧时的灵光一闪，也非常喜欢通过技巧来开阔思路，增强我对某个知识理解的深入程度。

在今天这一期推送里，我们来讲讲不定积分的技巧。在微积分／分析这门学科当中，计算是一项非常基本的能力，而在计算的过程当中有许多我们可以应用到的技巧。本文适合所有有一定微积分基础知识的人：对于学过一些微积分的高考同学，这篇文章可以做为一篇课外读物，加深一下你们对积分的理解；对于国外体制内，选修了相应微积分课程的同学们，你们可能对于其中的一部分或大部分概念感到比较熟悉；这篇文章可以作为你们对于相关学科内容的一个巩固。不论怎样，我都真诚地希望这篇文章能够对目标群体的读者有一定的帮助，而由于本人水平所限，如果有任何错误，还吝请大家指正。

不定积分的求法总结第7篇

xxx法利用反应体系中变化前后，某些物理量在始、终态时不发生变化的规律列式计算。主要有：(1)质量xxx;(2)原子个数xxx;(3)电荷xxx;(4)电子xxx;(5)浓度xxx(如饱和溶液中);(6)体积xxx;(7)溶质xxx;(8)能量xxx。

差量法根据物质发生化学反应的方程式，找出反应物与生成物中某化学量从始态到终态的差量(标准差)和实际发生化学反应差值(实际差)进行计算。主要有：(1)质量差;(2)气体体积差;(3)物质的量差;(4)溶解度差……实际计算中灵活选用不同的差量来建立计算式，会使计算过程简约化。

平均值法这是处理混合物中常用的一种方法。当两种或两种以上的物质混合时，不论以何种比例混合，总存在某些方面的一个平均值，其平均值必定介于相关的最大值和最小值之间。只要抓住这个特征，就可使计算过程简洁化。主要有：(1)平均相对分子质量法;(2)平均体积法;(3)平均质量分数法;(4)平均分子组成法;(5)平均xxx电子质量法;(6)平均密度法;(7)平均浓度法……

关系式法对于多步反应体系，可找出起始物质和最终求解物质之间的定量关系，直接列出比例式进行计算，可避开繁琐的中间计算过程。具体有：(1)多步反应关系法：对没有副反应的多步连续反应，可利用开始与最后某一元素来变建立关系式解题。(2)循环反应关系法：可将几个循环反应加和，消去其中某些中间产物，建立一个总的化学方程式，据此总的化学方程式列关系式解题。

十字交叉法实际上是一种数学方法的演变，即为a1x1+a2x2=a平×(x1+x2)的变式，也可以转化为线段法进行分析。(1)浓度十字交叉法;(2)相对分子质量十字交叉法等。

极值法当两种或多种物质混合无法确定其成分及其含量时，可对数据推向极端进行计算或分析，假设混合物质量全部为其中的某一成分，虽然极端往往不可能存在，但能使问题单一化，起到了出奇制胜的效果。常用于混合物与其他物质反应，化学平衡混合体系等计算。

讨论法当化学计算中，不确定因素较多或不同情况下会出现多种答案时，就要结合不同的情况进行讨论。将不确定条件转化为已知条件，提出各种可能答案的前提，运用数学方法，在化学知识的范围内进行计算、讨论、推断，最后得出结果。主要有以下几种情况：(1)根据可能的不同结果进行讨论;(2)根据反应物相对量不同进行讨论;(3)运用不定方程或函数关系进行讨论。

估算法有些化学计算题表面看来似乎需要进行计算，但稍加分析，不需要复杂计算就可以推理出正确的答案。快速简明且准确率高，适合于解某些计算型选择题。但要注意，这是一种特殊方法，适用范围不大。

不定积分的求法总结第8篇

孔老师说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”首先，我要明确一点，比起学习精神而言，学习方法本身就是下位或者说是次要的东西。学习精神就是指良好的学习态度和饱满的自信心。今天是学习方法的讨论会，那我就主要说一下我的一些学习方法。

我认为在课上我们应该怎么做就没必要说了，这个老师们每天不是讲一遍两遍，如果连课上自己应该干什么都不知道，那我后面讲的内容也就没必要去考虑了。

什么是好的学习方法? 严格的说就是适合自己的、有效率的学习方法。它是符合学习者自身特点，并与学习内容紧密相连，可以高效率地完成学习任务、达成学习目标的措施、手段和办法。注意，一定要符合学习者自身特点。任何想要照搬他人的学习方法，以期迅速提高学习效率的想法和做法都是不切实际的，极其错误的。一个总的原则是，不盲从、不迷信，绝不可以走别人的路，那样会让自己无路可走的。

虽说每一个人的学习有他自己独特的风格，但肯定有一些具有普遍意义的方法。首先，学习需要有一个相对安静的、良好的外部环境;其次，在学习内容的安排上，必须先易后难、先慢后快;在复习的时间安排上，我们要按照xxx斯“遗忘曲线”所揭示的规律，遵循先多后少、先密后疏的原则;在学习时我们还需要同学、伙伴间相互的支持和鼓励，始终保持积极向上的、乐观自信的心态，等等。这些只是确定了我们学习的一个方向，怎么走就要看自己的了。

我首先要强调的是“学习效率”，这可能其他几位也会讲到。我们知道效率和时间是成反比的，没有较高的学习效率，我们就要比别人多付出一倍甚至两倍的时间，这是学习中最忌讳的事。怎样才能提高学习效率呢?关键就是要静下心来，一定要做到专心致志，不要在学习的同时干其他事或想其他事。一心不能二用的道理谁都明白，可还是有许多同学在边学习边听音乐。或许你会说听音乐是放松神经的好办法，那么你尽可以专心的学习一小时后全身放松地听一刻钟音乐，这样比带着耳机做功课的效果好多了。

然后再说一下时间安排。我觉得应该充分利用好早上的时间，不是指到学校以后的那几分钟，而是早上在家的那段时间。早上的学习时间以半小时为宜，重点应放在背诵上。这段黄金时间学习效率应该是最高的，可用在睡觉上做出的梦也是最美的，一分钟也可以是一个好梦，我都可以理解。能不能用好这段时间就要看大家有多少毅力了。中午的时间应该用来休息，最好是睡上一觉。晚上学习时间不可太长，这只是对极少数同学说。对于大多数同学来说，现在的问题是学习时间太少。效率再高，没有时间也是不实际的。虽然我不赞同晚上到十一二点，但我觉得到十点钟也是应该的，也就是说晚上所学的时间至少应该和在学校上课的时间差不多，大约四个小时，而且一定要有很高的效率。不管对谁来说，学习都是枯燥的，这种耐力只能在平时的学习过程中积累。

对于时间的利用，我有以下几点建议：

1.突出重点，不要平均用力。这就首先要对自己和所学课程有一个全面的认识。所谓重点，一是指学习中的弱科或成绩不理想的课程或某些薄弱点;二是指知识体系中的重点内容。

2.长计划，短安排。要在时间上确定学习的远期目标、中期目标和近期目标。在内容上确定各门功课的具体目标。

3.对自己要有时间限制。可以把所定目标分成若干个部分，对每一部分限定时间，这样还不会产生疲劳感。

4.计划要留有余地。

“好脑瓜不如烂笔头”，养成良好的笔记习惯，能够准确、清晰、简练地笔记本身就是一种良好的学习方法。即使没有老师，抄读法本身也是一种不错的方法，在我学习的经历中，有许多学习中的难点都是在一边抄写一边思考的过程中解决掉的。自己编格言警句、人生妙语，经常拿出来读一读、想一想，对于提高语言能力大有好处。如果你能够为教材编写一本经典例、习题，或者为自己编一本错题集，这对于学习的帮助实在不逊于请了一个好老师。有一点，就是我们在课上除了十分重要的内容以外，不必记很详细的笔记。如果课堂上忙于记笔记，听课的效率一定不高，况且你也不能保证课后一定会去看笔记。课堂上所做的主要工作应当是把老师的讲课消化吸收，适当做一些简要的笔记即可。课下对笔记做详细的总结和归纳也有利于对所学内容的进一步理解。

影响一个人智力水平的因素有观察力、想象力、记忆力、思维力、创造力等，因此，学习的方法自然也就包括观察方法、想象方法、记忆方法、思维方法和创造方法，我们应该根据自己不同的思维特点、不同的知识水平和个性特征，不同的学习内容和学习目的采用不同的学习方法。往往是那些最具个性的方法才是最棒、最好的学习方法。

不定积分的求法总结第9篇

极限的计算方法总结

1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近xxx，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近xxx)。

3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。

4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!

5、无穷小于有界函数的.处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了!

6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7、等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)。

8、各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数。

9、求左右极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。

10、两个重要极限的应用。这两个很重要!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式(第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限)

11、还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大时候,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!x的x次方快于x!快于指数函数，快于幂数函数，快于对数函数(画图也能看出速率的快慢)!!当x趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。

12、换元法是一种技巧,不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。

13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。

14、还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15、单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性!

16、直接使用求导数的定义来求极限，(一般都是x趋近xxx时候，在分子上f(x加减某个值)加减f(x)的形式,看见了要特别注意)(当题目中告诉你F(0)=0时候f(0)导数=0的时候，就是暗示你一定要用导数定义!

函数是表皮,函数的性质也体现在积分微分中。例如他的奇偶性质他的周期性。还有复合函数的性质：

1、奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样(奇函数相加为0);

2、周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致;

3、复合函数之间是自变量与应变量互换的关系;

4、还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质!(可以导的函数的单调性和他的导数正负相关):o再就是总结一下间断点的问题(应为一般函数都是连续的所以间断点是对于间断函数而言的)间断点分为第一类和第二类剪断点。第一类是左右极限都存在的(左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点;第二类间断点是震荡间断点或者是无穷极端点(这也说明极限即使不存在也有可能是有界的)。

数学成绩是长期积累的结果，因此准备时间一定要充分。首先对各个知识点做深入细致的分析，注意抓考点和重点题型，同时逐步进行一些训练，积累解题思路，这有利于知识的消化吸收，彻底弄清楚有关知识的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握的东西。

不定积分的求法总结第10篇

第1单元走进化学世界

1、化学是研究物质的组成、结构、性质以及变化规律的基础科学。

2、我国劳动人民商代会制造青铜器，春秋战国时会炼铁、炼钢。

3、绿色化学-----环境友好化学 (化合反应符合绿色化学反应)

①四特点P6(原料、条件、零排放、产品) ②核心：利用化学原理从源头消除污染

4、蜡烛燃烧实验(描述现象时不可出现产物名称)

(1)火焰：焰心、内焰(最明亮)、外焰(温度最高)

(2)比较各火焰层温度：用一火柴梗平放入火焰中。现象：两端先碳化;结论：外焰温度最高

(3)检验产物 H2O：用干冷烧杯罩火焰上方，烧杯内有水雾

CO2：取下烧杯，倒入澄清石灰水，振荡，变浑浊

(4)熄灭后：有白烟(为石蜡蒸气)，点燃白烟，蜡烛复燃。说明石蜡蒸气燃烧。

5、吸入空气与呼出气体的比较

结论：与吸入空气相比，呼出气体中O2的量减少，CO2和H2O的量增多

(吸入空气与呼出气体成分是相同的)

6、学习化学的重要途径——科学探究

一般步骤：提出问题→猜想与假设→设计实验→实验验证→记录与结论→反思与评价

化学学习的特点：关注物质的性质、变化、变化过程及其现象;

7、化学实验(化学是一门以实验为基础的科学)

一、常用仪器及使用方法

(一)用于加热的仪器--试管、烧杯、烧瓶、蒸发皿、锥形瓶

可以直接加热的仪器是--试管、蒸发皿、燃烧匙

不定积分的求法总结第11篇

不定积分的积分xxx文

不定积分的积分xxx文【1】

摘要：在高职高专院校高等数学的不定积分章节的学习中，有三种积分方法，分别是第一类换元积分法，第二类换元积分法和分部积分法.部分学生在积分运算中，对积分方法的选择不知如何着手.针对这种现象，本文对三种积分方法加以总结，以便学生对积分方法能更好地掌握.

关键词：不定积分换元积分法分部积分法

一、第一类换元积分法

定理1(第一类换元积分法)设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元积分公式

f[φ(x)]φ′(x)dx=[f(u)du].

第一类换元积分公式实质上就是：f[φ(x)]φ′(x)dx=f[φ(x)]d[φ(x)].

第一类换元积分公式在运用过程中，应用的关键是确定新的积分变量φ(x)，那么如何确定φ(x)?方法有如下两种.

1.通过对所求不定积分中被积函数的观察，发现函数中既含有φ(x)又含有φ′(x)，则我们就可以猜测出新的积分变量为φ(x).

例如：求dx

分析：所求不定积分的被积函数为，因为(lnx)′=，所以我们可以把看做lnx，则新的积分变量φ(x)=lnx.

解：dx=[lnx]dx=lnxd[lnx]=lnx+C

2.通过对所求不定积分的观察，猜测出所要运用的基本积分公式，基于这个公式确定新的积分变量φ(x).

例如：求sin3xdx

分析：所求不定积分为sin3xdx，观察后发现我们所用的基本积分公式为sinxdx=-cosx+C，但是所求积分的被积函数不是sinx而是sin3x，我们可以把3x看做一个整体，就是新的积分变量φ(x)，即φ(x)=3x.

解：sin3xdx=[sin3x]3dx=[sin3x]d[3x]=[sin3x]d[3x]=-cos3x+C

二、第二类换元积分法

定理2(第二类换元积分法)设函数x=φ(t)单调，可导，且φ′(t)≠0，f[φ(t)]φ′(t)的原函数存在，则有换元积分公式

f(x)dx=[f[φ(t)]φ′(t)dt]，

其中t=ψ(x)是x=φ(t)的反函数.

第二类换元积分公式在何时运用?我认为：重点是解决被积函数中含有“根号”的积分问题.那么在学习中遇到的常见的含有根号的情形有几种呢?我总结了一下共有四种，分别是：;;;.

如何消除被积表达式中的根号?做适当变量替换即可，针对以上四种情形具体替换如下：

① 对，设t=;

② 对，设x=asint;

③ 对，设x=atant;

④ 对，设x=asect.

原来关于x的不定积分转化为xxx的不定积分，在求得xxx的不定积分后，必须代回原变量.在进行三角函数换元时，可由三角函数边与角的关系，作三角形，以便于回代.在使用第二类换元法的同时，应注意根据需要，随时与被积函数的恒等变形、不定积分性质、第一类换元法等结合使用.

例如：求dx

分析：所求不定积分的被积函数中含有根号，符合上述情形中的第三种，由此我们做替换x=2tant即可.

解：dx=•2sectdt=sectdt=ln(sect+tant)+C=ln++C=ln(+x)+C

三、分部积分法

分部积分公式：udv=uv-vdu或uv′dx=uv-u′vdx(其中u=u(x)与v=v(x)都具有连续导数)

分部积分法主要是解决被积函数是两类不同类型函数乘积的不定积分问题.这里我们所说的函数类型指的是反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数五种基本初等函数.当然在具体应用时被积函数未必是这五种类型，有可能是相似的类型，我们在应用公式前，只需要将所求的不定积分运用其他的积分方法适当变形转化为这五种函数即可.

应用分部积分公式的关键是确定公式中的u和v′，如何确定它们?可按照反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的顺序(即“反、对、幂、三、指”的顺序)，把排在前面的那类函数选作u，而把排在后面的那类函数选作v′.

例如：求xsinxdx

分析：不定积分中的被积函数xsinx为两类不同类型的函数乘积，所以我们就要应用分部积分法，其中u为x，v′为sinx，则u′=1，v=-cosx把上述四项代入公式即可.

解：xsinxdx=-xcosx--cosxdx=-xcosx+sinx+C

小结：我们学习以上三种积分方法的目的就是要把我们所计算的不定积分问题转化为我们所熟悉的基本积分公式来处理，当然，这些积分方法在运用时往往不是单独使用，大多数情形下都是混合使用，甚至要多次使用.

参考文献：

[1]同济大学，天津大学，浙江大学，重庆大学编.高等数学.高等教育出版社，.6，第2版.

[2]周金玉.高等数学.北京理工大学出版社，.8，第1版.

[3]xxx等.数学分析.高等教育出版社，，第2版.

不定积分计算方法的思考【2】

摘要：本文通过分析不定积分计算教与学中的困难，提出老师和学生要注意的问题，并对几种常用方法作了分析。

关键词：不定积分计算困难分析常用方法

不定积分是大学数学关于计算问题的一个重要内容，是定积分、重积分、线面积分计算、微分方程求解的基础。因此，熟练掌握不定积分的计算方法与技巧，对于学好高等数学是十分必要的，然而它的计算却存在着一定的难度。

一、不定积分计算的困难及分析

不定积分计算的困难首先是由其概念本身带来的，因为从求导的逆运算引进，造成了它的计算是非构造性的一类运算，它与求导相比有着显著的不同，求导有一定的公式可套，但求不定积分并非如此。

不定积分计算的困难还在于错误的思考方法，对于学生来说，解题往往通过“猜”的方式，猜原函数，这显然相当的困难;在老师方面，不定积分的教学也是一个难点，老师的任务是理出方法，教会学生如何理解方法，而不是凭感觉。

现实存在的问题有两个：一是当在指定让学生用哪种方法解决时，学生可以做到，但如果把方法混在一起，学生往往不知道用哪种方法;二是在当时学生会解决的题目，时间久了，学生就忘记了。原因都在于学生没有真正理解透各种方法的本质特点，面对问题时，不知道怎么根据其特征选择适当的方法。

二、不定积分计算的方法思考

在介绍积分方法时，老师首先应提醒学生注意被积函数的多样性，而不同类型的被积函数就需要不同的积分方法来解决，对于一个给定的f(x)，要求f(x)dx，这是一个未知的问题，从宏观上说我们要将未知的问题转化为已学知识来讨论。那么就存在两个问题：已知的是什么?怎么转化过去?

课本根据求导与不定积分的关系由基本求导公式给出了积分基本公式，它们可以作为已知的知识，那么不能直接由积分公式解决的问题，就要通过几种转化方法转化到现有的公式上，转化的依据要根据被积函数的结构和转化方法的特点。常用方法有以下几种。

1.基本变形。这个方法是由不定积分的性质线性引出的，只要做恒等变形就可以将要求的不定积分转化到基本积分公式中去，它的特点就是多个变单个。

2.凑微分法。顾名思义，关键在于一个“凑”字，如果能想到如何“凑”，则题目会迎刃而解，若想不到方法，则会无处入手。因此，归纳并熟记常用的`凑微分公式是十分必要的。

老师在讲解这个方法的时候可以先通过几个简单的凑微分的例子引出凑微分这个方法，以形象地观察出凑微分法的本质、特点，书上给出的定理是比较抽象的，在对其证明中，可以采取比较通俗的方式，如：要验证f[φ(x)]・φ′(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F[φ(x)]+C是否成立，只要验证(F[φ(x)]+C)′=f[φ(x)]・φ′(x)是否成立。

如果成立，则证明了该定理，也证明了前几个例子的做法是正确的。再结合例子和定理归纳出凑微分法的特点就是“变元再协同”。

有些例题要“凑”多次，老师可以举相关例题让学生充分体会凑微元法的本质特点是变元再协同中的“再”，总的来说凑微元法就是一个“变元再协同”的过程。

3.变量代换法。从被积函数中会发现一些难以处理的因式，使用凑微元怎么也协同不了，在讲解这个方法的时候可以先举几个这样的例子，告诉学生思考这个问题的方法，多列几个学生就会知道想办法去掉难以处理的因式，当然是有多种代换方法的。在学生接受了这种思路后再给出定理，证明手段类似凑微元的证明。

例1：求.

思路一：被积函数中既有x，又含有x，所以我们想办法通过变元都协同到x上，然后再观察，再协同。

解一：===

=d=d

=arctan+C

思路二：考虑被积函数中含有根号，想办法去掉根号，使用三角代换很容易将其算出。

观察这两种方法的各自特点，第一种思路它比较难想到，但计算起来比较简单，第二种方法它虽然操作起来相对麻烦一些，但指向性非常明确。

三角换元法一般是把被积函数中含有的，分别用x=asint，x=atant，x=asect做变换去掉根式，没有太多的技巧，但是有些含有这样根式的不定积分不需要采取变量代换的方法，例如xdx，dx，被积函数中含有了比较难处理的因式，而变量代换就是起到一个去掉难处理的因式的作用，但在有些题目中只要用凑微元做就可以了，提醒学生不要犯教条。

4.分部积分。其基本公式为udv=uv-vdu，此方法用于求udv不易，而求vdu较易的题目。在运用分部积分法关键是u与dv的选取，掌握此方法的一个关键在于你要对哪个求导，du是一个局部求导，求导之后要方便运算才有意义。

例2：求xedx.

分析：被积函数是指数函数e与三角函数x的乘积，用分部积分有两种方案：xedx=edx=ex-xdexde，第一种方案是对e局部求导，而我们知道对它求导还是本身，所以解决不了根本问题，所以学生在做题的时候要思考到底对谁局部求导能达到目的，这题中对x局部求导就可以去掉这个因式，所以选择第二种方案。

这部分内容的学习要求我们要对各类积分法进行总结比较，分析各类积分方法的特征，达到掌握并熟练运用的目的。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M].高等教育出版社，1990.

[2]仉志余.大学数学应用教程(上册)[M].北京大学出版社，.8.

[3]xxx.不定积分在高职教学中的教学浅析[J].教育研究与实践，，(12).