函数周期性公式大总结 第1篇
设函数f(x)连续，则下列函数中必为偶函数的是
(A) \int_{0}^{x}f(t^2)dt;
(B) \int_{0}^{x}f^2(t)dt;
(C) \int_{0}^{x}t[f(t)-f(-t)]dt;
(D) \int_{0}^{x}t[f(t)+f(-t)]dt;
由上述性质，要使 \int_{0}^{x}f(t)dt 为偶函数，则 f(x) 是奇函数的话即可，由于 G(t)=t[f(t)+f(-t)]=-G(t) ，故D里面的函数是奇函数，所以选D即可。
函数周期性公式大总结 第2篇
设 F(x)=\int_{x}^{x+2\pi}e^{sint}sintdt 则 F(x)
（A）为正常数
（B）为负常数
（C）恒为零
（D）不为常数
这种题的做法一般从三个方面出发：
1.分部积分
2.保号性
3.周期性
对这道题来说，周期性更加明显，所以，我们先从函数的周期性入手
由关于周期函数的原函数的性质①可得 \int_{x}^{x+2\pi}f(t)dt=\int_{0}^{2\pi}f(t)dt ，所以肯定为常数，排除D选项，接下来应用分部积分可以得到
\begin{align}\int_{x}^{x+2\pi}e^{sint}sintdt&=-\int_{0}^{2\pi}e^{sint}dcost\\&=-([e^{sint}cost]_0^{2\pi}-\int_{0}^{2\pi}coste^{sint}costdt)\\&=0+\int_{0}^{2\pi}e^{sint}cos^2tdt\end{align}
由定积分的保号性可知 \int_{0}^{\pi}e^{sint}cos^2tdt 为正值，故本题答案为正。选A。
函数周期性公式大总结 第3篇
设 f(x) 在 (-\infty,+\infty) 内为奇函数，且具有一阶连续导数，a为非零常数，则下列函数在 (-\infty,+\infty) 内必为偶函数的是
（A） \int_{0}^{y}dx\int_{a}^{x}uf'(u)du
（B） \int_{0}^{y}dx\int_{a}^{x}f(u)sinudu
（C） \int_{0}^{y}dx\int_{0}^{x}x^2f(u)du
（D） \int_{a}^{y}dx\int_{a}^{x}xf(u)du
这四个函数最终的结果是xxx的函数，仅仅对y来说，由之前的性质，要使得其必为偶函数，首先要满足 \int_{a}^{y} 的情况，abcd都符合条件。其次必须使得后面关于x的函数是奇函数才能确保其为偶函数，在D选项中，x是奇函数， \int_{a}^{x}f(u)du 是偶函数，相乘为奇函数，故选D。
函数周期性公式大总结 第4篇
设 f(x) 是周期为4的可导奇函数，且 f'(x)=2(x-1),x\in[0,2] ,则 f(7)=\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }.
由于 f(x) 是可导数奇函数,故 f'(x) 是偶函数，则 f'(x)=\begin{cases}2(x-1)\ \ \ \ \ \ \ \ x\in[0,2]\\-2(x+1)\ \ \ \ \ \ \ \ x\in[-2,0]\end{cases}
则 f(x)=\int f'(x)+c=-x^2-2x+c \ \ \ \ \ x\in[-2,0]
由于 f(x) 是奇函数，故 f(0)=0 , c=0
周期为4，故 f(7)=f(-1)=1
